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Niveau seconde
Je ne sais pas comment le titrer
Posté par stella
Bonjour
1)a) A l'aide de la calculatrice, calculer :
a1 = 3 au carré + 2
a2 = 33 au carré + 22
a3 = 333 au carré + 222
b) La calculatrice permet-elle de donner la valeur exacte de
a8 = 33 333 333 au carré + 22 222 222 ?
En utilisant les résultats du a), peut-on faire une conjecture sur cette valeur exacte ?
2)a) On considère l'entier naturel x = 11 111 111 formé de 8 chiffres tous égaux à 1... Calculer 9x + 1,
et en déduire que x = 10 puissance 8 - 1 / 9
b) Vérifier l'égalité a8 = (10 puissance 8 -1 / 3) au carré + 2/9 (10 puissance 8 -1), et en déduire que a8 = 1/9 (10 puissance 16 - 1)
Donner l'écriture décimale de a8
Pour le 1)b) Ma calculatrice ne va pas assez loin.
Pour le 2)a) 9x + 1 = 9 (11 111 111) + 1
9x + 1 = 99 999 999 + 1
9x + 1 = 10 puissance 8
9x = 10 puissance 8 - 1
x = 10 puissance 8 - 1 / 9
Pour le 2)b) j'ai fait mes calculs mais je n'arrive pas à les écrire en mettant les formules simples. J'ai peur que cela soit illisible.
Pouvez-vous m'aider SVP. Merci
Stella (ma fifille est en seconde)
1)a)
a1 = 3² + 2 = 11
a2 = 33² + 22 = 1 111
a3 = 333² + 222 = 111 111
b)
Avec la plupart des calculettes, la réponse est non.
conjecture: a8 = 1 111 111 111 111 111
C'est à dire une suite de 2*8 = 16 chiffres 1.
-----
2)
a)
x = 11 111 111
9x + 1 = 99 999 999 + 1 = 100 000 000
9x + 1 = 10^8
9x = (10^8 - 1)
x = (10^8 - 1)/9
b)
a8 = 33 333 333² + 22 222 222
(10^8 - 1) = 100 000 000 - 1 = 99 999 999
(10^8 - 1)/3 = 33 333 333
[(10^8 - 1)/3]² = (33 333 333)²
10^8 - 1 = 100 000 000 - 1 = 99 999 999
(2/9)(10^8 - 1) = (2/9).(99 999 999)
(2/9)(10^8 - 1) = 22 222 222
-> a8 = [(10^8 - 1)/3]² + (2/9)(10^8 - 1)
a8 = [(10^8 - 1)²/9] + (2/9)(10^8 - 1)
a8 = (1/9).(10^8-1).(10^8-1+2)
a8 = (1/9).(10^8-1).(10^8+1)
Penser à A²-B² = (A-B)(A+B) ->
a8 = (1/9).(10^16-1²)
a8 = (1/9).(10^16-1)
a8 = (1/9)*(10 000 000 000 000 000 - 1)
a8 = (1/9)*(9 999 999 999 999 999)
a8 = 1 111 111 111 111 111 111
-----
Sauf distraction. 
Zut, à la dernière ligne de ma réponse précédente, lire:
a8 = 1 111 111 111 111 111
Il y a avait trois 1 en trop (j'avais été emporté par l'élan).
Il n'y a pas de quoi Stella.
C'est toujours un plaisir de pouvoir aider des parents motivés.
C'est malheureusement de plus en plus rare.
