Niveau terminale

je seche sur une limite trigo...

Posté par felicity (invité) 13-11-04 à 20:00

voila regardez cette limite , car jeblok dessus:
lim((3) sinx - cosx) / (x - /6 ) loreceke x tend vers pi/6
merci de me donner un coup de main ! ciao!!

Posté par re : je seche sur une limite trigo... 13-11-04 à 23:21

Bonsoir ,

On pose $X=x+\frac{\pi}{6}$

$\lim_{x\to \frac{\pi}{6}}\frac{\sqrt{3}sin(x)-cos(x)}{x-\frac{\pi}{6}}=\lim_{X\to 0}\frac{\sqrt{3}sin(X+\frac{\pi}{6})-cos(X+\frac{\pi}{6})}{X}$

or $sin(X+\frac{\pi}{6})=sin(X)cos(\frac{\pi}{6}]+sin(\frac{\pi}{6})cos(X)=\frac{\sqrt{3}}{2}sin(X)+\frac{1}{2}cos(X)$

donc $\sqrt{3}sin(X+\frac{\pi}{6})=\frac{3}{2}sin(X)+\frac{\sqrt{3}}{2}cos(x)$

D'autre part :

$cos(X+\frac{\pi}{6})=cos(X)cos(\frac{\pi}{6})-sin(X)sin(\frac{\pi}{6})=\frac{\sqrt{3}}{2}cos(X)-\frac{1}{2}sin(X)$

D'où :

$\sqrt{3}sin(X+\frac{\pi}{6})-cos(X+\frac{\pi}{6})=\frac{3}{2}sin(X)+\frac{\sqrt{3}}{2}cos(x)-\frac{\sqrt{3}}{2}cos(X)+\frac{1}{2}sin(X)=2sin(X)$

Et donc :
$\lim_{x\to \frac{\pi}{6}}\frac{\sqrt{3}sin(x)-cos(x)}{x-\frac{\pi}{6}}=\lim_{X\to 0}\frac{\sqrt{3}sin(X+\frac{\pi}{6})-cos(X+\frac{\pi}{6})}{X}=\lim_{X\to 0}\frac{2sin(X)}{X}=2\lim_{X\to 0}\frac{sin(X)}{X}$

or $\lim_{X\to 0}\frac{sin(X)}{X}=1$

donc $3$\lim_{x\to \frac{\pi}{6}}\frac{\sqrt{3}sin(x)-cos(x)}{x-\frac{\pi}{6}}=2$

Salut

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