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Juste un ptit coup de pouce svp : Fonctions
Bonjour à tous , j'espere que vous passez un ebonne semaine , voici mon exercice :
La fonction de cout total c de fabrication d'un produit par une entreprise est donnée par : où q est le nombre d'unités fabriquées .
On rappelle que le coùt unitaire moyen est donné par , et que la fonction coùt marginal est la dérivée C' de la fonction coùt C.
1. Exprimer, en fonction de q, le coùt moyen et le coùt marginal, puis calculer le nombre q0 d'unités à fabriquer pour que ces deux coùts soient égaux.
Montrer que Cm(q0) représente un minimum de la fonction de coùt moyen.
2. Le prix de vente de chacune des q unités fabriquées dépend de q suivant la relation: .
On suppose que l'entreprise vend toute sa production.
Montrer que le bénéfice réalisé est .
En déduire l'intervalle [a;b] ,a et b entiers dans lequel doit se situer la production pour que l'entreprise soit rentable .
Déterminer le nombre d'unités à fabiriquer pour obtenir le bénéfice maximum .
merçi beaucoup de votre future aide et vive ce bo site !
j'en suis a Montrer que Cm(q0) représente un minimum de la fonction de coùt moyen : c la que je suis bloqué !
Si tu dérives le coup moyen, tu trouves (C'(q)q-C(q))/q^2.
q0 par est définit par C'(q0)=C(q0)/q0 donc C'(q0)q0-C(q0)=0 donc Cm'(q0)=0. qo est donc extremum du coup moyen. Tu es peut être débloqué pour passer à la deuxième partie de la question : cet extremum est-il un minimum ?
C'(q)>C/q ssi 2q(q-q0)>0
Cm'(q) est donc du même signe que q-q0
Cm est donc décroissante vers q0 puis croissante à partir de q0
C'est donc bien un minimum
A+
c vrai il faut faire : je trouve alors bien ce resultat
Pour le 2 on fait B(q) =p(q)-c(q) mais je ne trouve pas le bon resultat (il faut multiplier P(q) par q , mais pourquoi ?)
1)
C(q) = q³-14q²+76q
C unitaire moyen : Cm(q) = q²-14q+76
C marginal = C'(q) = 3q²-28q+76
On a cm(q) = C marginal pour:
q²-14q+76 = 3q²-28q+76
2q² - 14q = 0
q² - 7q = 0
q(q-7) = 0
Soit si on ne considère pas q=0 (pas de prodiuction), alors:
cm(q) = C marginal pour q0 = 7
---
Cm(q) = q²-14q+76
Cm'(q) = 2q-14 = 2(q-7)
Cm'(q) < 0 pour q dans [0 ; 7[ -> cm(q) est décroissante.
Cm'(q) = 0 pour q = 7.
Cm'(q) > 0 pour q dans ]7 ; oo[ -> cm(q) est croissante.
Il y a donc un minimum de Cm(q) pour q = 7, ce min correspond bien à q0.
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2)
Prix de vente total = q.P(q)
Prix de vente total = 60q - q²
Bénéfice = Prix de vente total - C(q)
B(q) = 60q - q² - (q³-14q²+76q)
B(q) = -q³ + 13q² - 16q
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B(q) = -q³ + 13q² - 16q
B(q) = -q(q² - 13q + 16)
(q² - 13q + 16) = 0
q = (13 +/- V(13²-64))/2 = (13 +/- V105)/2
B(q) = -q.(q -((13 - V105)/2)).(q - ((13 + V105)/2)) pour q >= 0
Tableau de signe
B(q) >= 0 pour q dans [(13 - V105)/2 ; (13 + V105)/2]
B(q) >= 0 pour q dans [1,3... ; 11,6...]
Et comme q est entier, on a :
B(q) > 0 pour q dans [2 ; 11]
L'entreprise est rentable pout q dans [2 ; 11]
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Recherche de la quantité q pour avoir le Bénéfice max:
B(q) = -q³ + 13q² - 16q
B'(q) = -3q²+26q-16
B'(q) = -(q-8)(3q-2)
B'(q) < 0 pour q dans [0 ; 2/3[ --> B(q) est décroissante.
B'(q) = 0 pour q = 2/3
B'(q) > 0 pour q dans ]2/3 ; 8[ --> B(q) est croissante.
B'(q) = 0 pour q = 8
B'(q) < 0 pour q dans ]8 ; oo[ --> B(q) est décroissante.
Il y a un max de B(q) pour q = 8
La bénéfice max est pour q = 8.
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Sauf distraction. 
je vais le refaire a mon bureau et voir si je trouve la meme chose.
Merci beaucoup et bonne soirée .
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