Niveau Maths sup

juste une verification...

Posté par
Ksilver 15-09-05 à 22:12

x = Arccos ((2+3*6^(1/2))/10)

y a bien aucun moyen de le simplifier d'avantage ?

je suis sencé arriver a une solution "simple" et celle la me parait pas assez simple...

Posté par re : juste une verification... 15-09-05 à 22:15

Bonsoir,

a priori pas de simplification qui saute à mes yeux

Quel était le sujet initial qui t'a amené à cette valeur de x ?

Salut

Posté par re : juste une verification... 15-09-05 à 22:31

oula ^^

resoudre de plusieur maniere

a*cos(x)+b*sin(x) =c (x appartien a [-pi,+pi]

dans cette question, la methode imposer de ramener cette equation a la forme cos(x-alpha)=d

ou alpha =arccos(e)

puis donner une valeur aproché et exacte (simplifier) des solutions pour a=-1, b=3, c=-2

bon l'exo est un peu long...

a la fin on trouve 2 racine du genre :

x = arccos(-1/10^(1/2))-arccos(-2/10^(1/2))

que j'ai simplifier en l'ecriture donner precedement

mais si tu voie rien non plus sa me rassure...

Posté par re : juste une verification... 15-09-05 à 22:42

eh eh c'est une leçon de capes cela on doit pouvoir la trouver sur le net

Posté par re : juste une verification... 15-09-05 à 22:47

hum finalement pas si évident à trouver sur le net, désolé

Posté par re : juste une verification... 15-09-05 à 22:58

nan nan c un exo de sup...

Posté par re : juste une verification... 15-09-05 à 23:10

non quand je disais que c'était un sujet de capes c'était d'oral de capes :

Leçon à présenter devant le jury, le titre :
Equation cartésienne d'une droite du plan euclidien.Application à l'étude d'inéquations de la forme : acos t+bsin t >c

Posté par re : juste une verification... 16-09-05 à 00:47

Bonsoir;
$\fbox{a cos(x)+bsin(x)=c\\(a,b)\neq(0,0)}$ $\Longleftright$ $\fbox{\frac{a}{sqrt{a^2+b^2}}cos(x)+\frac{b}{sqrt{a^2+b^2}}sin(x)=\frac{c}{sqrt{a^2+b^2}}}$ soit alors $\alpha\in]-\pi,\pi]$ tel que $\fbox{cos(\alpha)=\frac{a}{sqrt{a^2+b^2}}\\sin(\alpha)=\frac{b}{sqrt{a^2+b^2}}}$
l'équation devient alors: $\fbox{cos(x-\alpha)=d=\frac{c}{sqrt{a^2+b^2}}}$
*si $|d|>1$ l'équation n'a pas de solution.
*si $|d|\le1$ soit $\beta\in[0,\pi]$ tel que $cos(\beta)=d$
les solutions de l'équation dans $\mathbb{R}$ sont donc:
$\fbox{x=\alpha\pm\beta+2k\pi\\k\in\mathbb{Z}}$
remarques:
*pour avoir les solutions dans $[-\pi,\pi]$ on encadrera les solutions ci-dessus entre $-\pi$ et $\pi$ pour trouver les valeurs convenables de $k$ .
* si $\fbox{b\ge0}$ alors $\alpha\in[0,\pi]$ et donc $\fbox{\alpha=arccos(\frac{a}{sqrt{a^2+b^2}})}$ .
* si $\fbox{b<0}$ alors $\alpha\in]-\pi,0[$ et donc $\fbox{\alpha=-arccos(\frac{a}{sqrt{a^2+b^2}})}$ .
exemple:
si $\fbox{a=-1\\b=3\\c=-2}$ alors $\fbox{\alpha=arccos(\frac{-1}{sqrt{10}})\\ \beta=arccos(\frac{-2}{sqrt{10}})}$ les solutions étant $\fbox{x=\alpha\pm\beta+2k\pi\\k\in\mathbb{Z}}$ il vient vu que $\alpha,\beta\in[0,\pi]$ :
$\fbox{cos(x)=\frac{-1}{sqrt10}\frac{-2}{sqrt10}-sqrt{1-\frac{1}{10}}sqrt{1-\frac{4}{10}}=\frac{2-3sqrt6}{10}\\sin(x)=sqrt{1-\frac{1}{10}}\frac{-2}{sqrt10}+\frac{-1}{sqrt10}sqrt{1-\frac{4}{10}}=\frac{-6-sqrt6}{10}}$ ou $\fbox{cos(x)=\frac{-1}{sqrt10}\frac{-2}{sqrt10}+sqrt{1-\frac{1}{10}}sqrt{1-\frac{4}{10}}=\frac{2+3sqrt6}{10}\\sin(x)=sqrt{1-\frac{1}{10}}\frac{-2}{sqrt10}-\frac{-1}{sqrt10}sqrt{1-\frac{4}{10}}=\frac{-6+sqrt6}{10}}$
et vu que les sinus des solutions sont strictement négatifs,l'ensemble solution de notre équation est:
$3$\blue\fbox{S=\{-arccos(\frac{2-3sqrt6}{10})+2k\pi,-arccos(\frac{2+3sqrt6}{10})+2k\pi /k\in\mathbb{Z}\}}$
Sauf erreur bien entendu