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Justification limite d'une suite originale...

Posté par
aficionado
16-10-21 à 15:04

Bonjour à tous,

Je coince depuis un petit moment sur la justification et la rédaction à adopter sur un exercice à propos de la limite s'une suite.

Question : Montrer que pour tout n non-nul, on a :

\left(2+\frac{2}{n} \right)^n\geq 4



Mon travail :

Tentative 1 : Partir de l'inégalité
C'est ce qui me semblait le plus naturel... et qui dans plein d'exemples vu en cours convenait bien. Mais ici je n'arrive à rien... J'en déduis donc qu'il faut chercher autre chose.

Tentative 2 : Étudier premier terme et raison
Tout simplement, on a une suite.
Simplement à nouveau, celle-ci est de premier terme {u}_1=4
Et en gros, pour passer de ce premier terme au suivant et ainsi de suite, on multiplie par \left(1+\frac{1}{n+1} \right) ou alors \left(1+\frac{1}{n} \right).
Ensuite, j'établis que la limite de ce facteur (ou bien l'autre) est \geq 1.
Autrement dit, en multipliant le premier terme {u}_1=4 par une "raison q" \geq 1, on vérifie bien l'égalité.

Problème :
Je pense que le raisonnement établi est le bon, tant pis pour la tentative 1...
Seulement, comme vous le voyez sûrement, cela pose quelques problèmes :
   -puis-je vraiment parler de premier terme, et surtout de "raison q", dans la mesure où je ne sais pas prouver que cette suite est géométrique (en faisant le rapport \frac{{u}_n+1}{u_n}
\frac{{u}_n+1}{u_n}) ??

    -comment bien rédiger pour montrer que l'égalité est vraie, et pouvoir parler du passage du terme n
à n+1 (c'est lié au fait que je ne sais pas laquelle des fractions plus haut est la bonne)??


Dans l'attente de vos retours, merci beaucoup

Posté par
sanantonio312
re : Justification limite d'une suite originale... 16-10-21 à 15:09

Bonjour,
Avec u1=4, il pourrait suffire de montrer que la suite est croissante (si c'est bien le cas...)

Posté par
aficionado
re : Justification limite d'une suite originale... 16-10-21 à 15:15

sanantonio312 Bonjour
Au fait c'est ce que je fais implicitement en montrant que j'ai un premier terme supérieur à 0 et une "raison" supérieure ou égale à 1, de plus en tabulant la fonction, cela se vérifie effectivement, mais comme indiqué, le problème est + au niveau de la rigueur j'imagine...

Posté par
sanantonio312
re : Justification limite d'une suite originale... 16-10-21 à 15:19

Une autre idée: (2+2/n)n=(2(1+1/n))n=...
Permet de conclure très vite

Posté par
philgr22
re : Justification limite d'une suite originale... 16-10-21 à 15:21

Bonjour,
Ne peux tu pas mettre 2 en facteur par hasard?....

Posté par
philgr22
re : Justification limite d'une suite originale... 16-10-21 à 15:21

Bonjour san Antonio ,je m'eclipse.

Posté par
sanantonio312
re : Justification limite d'une suite originale... 16-10-21 à 15:28

Bonjour philgr22,
tu es le bienvenu. Surtout si le 22 est le département

Posté par
philgr22
re : Justification limite d'une suite originale... 16-10-21 à 15:29

Ah oui? Breton aussi?

Posté par
aficionado
re : Justification limite d'une suite originale... 16-10-21 à 15:31

philgr22
Merci, effectivement , en posant 2\left(1+\frac{1}{n} \right)
2\left(1+\frac{1}{n} \right), j'ai \left(1+\frac{1}{n} \right)\geq 2, et comme 2*2 (tendant+2)\geq 4, c'est vrai pas de soucis.
Mais je crois que je déplace juste le problème, et ça ne m'arrange pas bcp  plus pour la rédaction...

Posté par
sanantonio312
re : Justification limite d'une suite originale... 16-10-21 à 15:31

Oui. D'origine (St Brieuc & Étables) et de cœur (à Paimpol)

Posté par
aficionado
re : Justification limite d'une suite originale... 16-10-21 à 15:36

Plouay dans le Morbihan pour ma part

Posté par
sanantonio312
re : Justification limite d'une suite originale... 16-10-21 à 15:44

(2+2/n)n=(2(1+1/n))n=2n(1+1/n)n
Pour n=1, u1=4
Pour n>1, 2n4 et (1+1/n)n1

Posté par
redeurl
re : Justification limite d'une suite originale... 16-10-21 à 15:45

bonjour, il n'y a pas une autre question dans l'exercice qui pourrait t'aider à le justifier ?

Posté par
aficionado
re : Justification limite d'une suite originale... 16-10-21 à 15:52

redeurl malheureusement non... c'est la première question, et il faut commencer par le démontrer tel quel...

Posté par
sanantonio312
re : Justification limite d'une suite originale... 16-10-21 à 16:02

Autre méthode:
\frac{u_{n+1}}{u_n}=\frac{2^{n+1}(1+\frac{1}{(n+1)})^{n+1}}{2^n(1+\frac{1}{n})^n}=2\frac{(1+\frac{1}{(n+1)})^{n+1}}{(1+\frac{1}{n})^n}

\frac{u_{n+1}}{u_n}>2\frac{(1+\frac{1}{(n+1)})^n}{(1+\frac{1}{n})^n}=2(\frac{n+2}{n+1})^n>2

La série étant positive, elle est donc croissante et son premier terme vaut 4

Sauf erreur dont je suis parfaitement capable

Posté par
sanantonio312
re : Justification limite d'une suite originale... 16-10-21 à 16:02

La suite étant positive...

Posté par
sanantonio312
re : Justification limite d'une suite originale... 16-10-21 à 16:06

Oui, j'ai fait  une erreur.
C'est \frac{u_{n+1}}{u_n}>2\frac{(1+\frac{1}{(n+1)})^n}{(1+\frac{1}{n})^n}=2(\frac{n+1}{n+2})^n

Il reste à montrer que cette dernière fraction est >1 pour démontrer la croissance de la suite

Posté par
sanantonio312
re : Justification limite d'une suite originale... 16-10-21 à 16:07

Il reste à montrer que ce dernier résultat est >1 pour démontrer la croissance de la suite

Posté par
sanantonio312
re : Justification limite d'une suite originale... 16-10-21 à 16:09

Mais bon, la méthode de 15h44 est quand même plus simple. Non?

Posté par
redeurl
re : Justification limite d'une suite originale... 16-10-21 à 16:13

j'ai peut-être trouvé quelque chose..
tu pars de n >= 1 ensuite tu mets le 2 au numérateur etc ce qui te donne ça :
n>=1
2/n >= 2/1 (on change pas le sens car n>=1)
2+(2/n)>= 4
(2+(2/n))^n >=4^n

après il faut juste dire que comme n>=1, bah si c'est supérieur à 4^2 par exemple, bah c'est forcément supérieur à 4 aussi.
je sais pas comment tu pourrais l'écrire mais j'aurais fait comme ça à ta place



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