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justifier un encadrement

Posté par
aya4545
24-01-22 à 10:02

bonjour
priere m aider a terminer cet exercice
g_n(x)=\frac{x}{\sqrt[n]{x}}e{\frac{x}{2};x>0 etg(0)=-1
1) montrer que g est continue a droite de 0
2)justifier que l equation g(x)=0admet une unique solution a_npuis que 0<a_n<1
3)etudiez suivant les valeurs x>0le signe  de g(x)
montrer que \forall x>0 \quad 1-\frac{1}{x}\leq \ln(x) \leq x-1
4) en deduire \forall n\geq 2 \quad \frac{a_n^2}{n-1}\leq 1-a_n\leq \frac{a_n}{n-1} puis que a_n\geq \frac{n-1}{n} et en deduire \lim a_npuis \lim n(a_n-1) et montrer que \lim\sqrt[n]{a_n}=1

ce qui me bloque c est l inegalité de droite de la question 4)le reste je l ai fait et merci

Posté par
larrech
re : justifier un encadrement 24-01-22 à 10:37

Bonjour,

Tu es sûr de ta définition de g ?

Posté par
aya4545
re : justifier un encadrement 24-01-22 à 11:27

salut
je m excuse :  g_n(x)=\frac{x}{\sqrt[n]{x}}e{\frac{x}{2}-1;x>0   et  g_n(0)=-1

Posté par
lake
re : justifier un encadrement 24-01-22 à 12:22

Bonjour,

En attendant larrech,

si g_n(x)=\dfrac{x}{\sqrt[n]{x}}\,e^{\frac{x}{2}}-1, il me semble que la seconde partie de l'inégalité du 4) est fausse.

Posté par
aya4545
re : justifier un encadrement 24-01-22 à 13:05

salut
effectivement  lake
dans geogebra j ai crée une variable entiere n
j ai tracé C_gn j ai tracé  le point A intersection  C_g et l axe des abscisses
a_n=x(A) (abscissede A)
jai crée apres deux variables  b=1-x(A)  \quad  c=\frac{x(A)}{n-1} et bien pour n assez grand b\to 0.3 et c\to 0

Posté par
lake
re : justifier un encadrement 24-01-22 à 13:21

J'avais  fait à peu près la même chose avec GeoGgebra (c'est ton cqui tend vers 0)

  

Posté par
aya4545
re : justifier un encadrement 24-01-22 à 13:38

salut
puisque a_n \to 1 donc b_n \to 0 \quad  et c_n \to 0 mais (b_n)  tend plus rapidement à 0 que (c_n)

Posté par
lake
re : justifier un encadrement 24-01-22 à 13:47

Avec ta fonction g_n, je ne suis pas sûr que a_n tende vers 1.

J'ai un peu bricolé ; tu peux reprendre ton exercice avec g_n(x)=x^{n-1}\,e^x-1

Il faut juste oublier \lim\limits_{n\to +\infty}\sqrt[n]{a_n} mais je crois que tout le reste "colle"

Posté par
aya4545
re : justifier un encadrement 24-01-22 à 14:15

merci lake
c est exact  j ai supposé que la deuxieme inegalitée est vraie pour demontrer que   \frac{n-1}{n}\leq a_n \leq 1 pour en deduire a_n\to 1 or ce n est plus le cas
d ailleur meme avec geogebra pour n=10^9   a_n a peu pres egale a 0.7
je vais chercher avec  g_n(x)=x^{n-1}\,e^x-1 et merci

Posté par
aya4545
re : justifier un encadrement 24-01-22 à 14:48

salut
oui lake  jai tout verifié  et meme pour :
pour  \lim\limits_{n\to +\infty}\sqrt[n]{a_n}=1 si jamais je me suis pas trompée
en effet on peut montrer que \frac{a_n\sqrt[n]{a_n}}{n(n-1)}\leq 1-\sqrt[n]{a_n}\leq \frac{a_n}{n(n-1)}

Posté par
lake
re : justifier un encadrement 24-01-22 à 14:58

J'étais bien persuadé que tu viendrais facilement à bout de ce nouvel exercice

Revenons à ta fonction g_n :

  

Citation :
d ailleur meme avec geogebra pour n=10^9   a_n a peu pres egale a 0.7


  Oui, on peut montrer que la limite de (a_n) est l'unique solution de l'équation x+2\,\ln\,x=0  soit environ 0.703467...

  Ce qui confirme, si besoin était,  que ton énoncé initial était faux
  



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