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Kangourou : énigmes :*::*:
Bonjour à tous,
Ce matin avait lieu dans toute la France le Kangourou des Maths. Même après reflexions, certaines questions me posent encore problème. Je pense qu'elles peuvent peut-être faire office de JFF, même si n'ayant pas les réponses, on a 5 possibilités. Bien sûr, le but de consiste pas vraiment à trouver la réponse, mais surtout à savoir pourquoi est-ce celle-là. Voici la 1ere :
Les nombres 1, 2 et 3 sont écrits sur un cercle. Quand deux nombres se suivent sur le cercle, on écrit leur somme entre chacun des deux nombres. On obtient ainsi 6 nombres, écrits sur un cercle, et qui sont, dans l'ordre : 1, 3, 2, 5, 3 et 4. On répète 4 fois de plus cette procédure. On obtient alors 96 nombres écrits sur un cercle. Quelle est la somme de ces 96 nombres ?
A) 486 B) 2187 C) 1458 D) 4374 E) 998
Estelle 
On passe de la somme précdent la procédure à la somme suivant la procédure en multipliant par 3.
En effet, un nombre de la somme précédent la procédure se retrouve 3 fois après la procédure (1 fois avec le nombre de cxhaque côté+1 fois lui-même).
Total (1+2+3)*35 = 1458
Bonjour,
Merci de vos réponses.
Cependant, je ne comprends pas ton explication Nofutur :
On passe de la somme précdent la procédure à la somme suivant la procédure en multipliant par 3.
En effet, un nombre de la somme précédent la procédure se retrouve 3 fois après la procédure (1 fois avec le nombre de cxhaque côté+1 fois lui-même).
Total (1+2+3)*35 = 1458
Peux-tu reformuler stp ? Désolée.
Estelle
1ère somme :1+2+3
2èùe somme : 1+(1+2)+2+(2+3)+3+(3+1) =1+3+2+5+3+4 = 3*(1+2+3)
3ème somme : 1+(1+3)+3+(3+2)+2+(2+5)+5+(5+3)+3+(3+4)+4+(4+1)= 3*(1+3+2+5+3+4)
Une somme est égale à 3 fois la précdente.
1ère somme 6, et 5 procédures donne 6*35.
Dans une somme, les nombres composant la somme précédente sont utilisés 3 fois.
Ex emple dans la 2ème somme, on utilise 3 fois le 1, 3 fois le 2 et 3 fois le 3.
GRRR.. Apparemment tu n'as pas compris. Regarde mes explications.
On retrouve les nombres précédents 3 fois !!!
En fait, j'ai compris l'écriture des sommes.
Ce que je comprends c'est que pour savoir que les nombres qui composent la somme précédente sont utilisés 3 fois dans la suivante, tu as juste essayé la 1ere, la 2eme etc ?
Estelle
Ben oui !!
Quand on écrit le somme suivante, on voit qu'on ajoute 2 fois la somme précédente. On essaye de comprendre pourquoi et on trouve vite en regardant comment sont constitués les nouveaux nombres.
Voila ..; Pigé ??
En voici une autre :
Soient M et N deux points quelconques respectivement sur le côté [AD] et sur le côté [DC] d'un carré ABCD. Le carré est alors découpé en huit parties d'aires S1, S2,..., S8, comme le montre la figure. Laquelle des expressions suivantes est toujours égale à S8 ?
A) S2+S4+S6 B) S1+S3+S5+S7 C) S1+S4+S7 D) S2+S5+S7 E) S3+S4+S5
Merci.
Estelle
Salut Estelle
Jolie ton énigme
Je te propose cette démo qui peut, peut-être, se simplifier
Si tu considère les triangles BAM et CMD, tu peux écrire, en passant par les aires :
(ABM)+(CMD)=a²/2 avec ()=aire et a le côté du carré et ceci, quelque soit la position de M
(S6+S7)+(S2+S3+S4)=a²/2
De même, si tu considère les triangles ADN et BCN, tu peux écrire, en passant par les aires :
(ADN)+(BCN)=a²/2 avec ()=aire et a le côté du carré et ceci, quelque soit la position de N
(S4+S5+S6)+(S1+S2)=a²/2
en faisant la somme des deux sommes d'aires
[(S6+S7)+(S2+S3+S4)]+[(S4+S5+S6)+(S1+S2)]=a²/2+a²/2=a²
or a²=S1+S2+S3+S4+S5+S6+S7+S8
en simplifiant, il reste :
S8=S2+S4+S6 => réponse A
Vérifie...
Philoux
la justification, au fait (je l'ai oubliée dans le post précédent), est THALES !
EN effet, quelque soit la position de M, le triangle BCM a toujours la mémère qui est base*hauteur/2=a*a/2=a²/2
Par suite, la somme des aires des triangles BAM et CDM vaut a²-a²/2=a²/2
Même raisonnement pour les triangles contenant N...
Philoux
Celle-là aussi me pose problème :
Un train est constitué de 5 wagons notés I, II, III, IV et V. De combien de manières peut-on placer les wagons de telle sorte que le wagon I soit toujours plus proche de la locomotive que le wagon II ?
A) 120 B) 60 C) 48 D) 30 E) 10
Merci.
Estelle
Moi je dirais B)60.
Si le W1 est à la place 1, il y a 4!=24 possibilités de mettre les 4 autres.
Si le W1 est à la place 2, il y a 3 places pour le W2 et 3!=6 possibilités pour les 3 autres, soit 3*6=18 possibilités .
Si le W1 est à la place 3, il y a 2 places pour le W2 et 3!=6 possibilités pour les 3 autres, soit 2*6=12 possibilités .
Si le W1 est à la place 4, il y a 1 place pour le W2 et 3!=6 possibilités pour les 3 autres, soit 1*6=6 possibilités .
Soit au total :24+18+12+6=60 possibilités
Désolé NF2, mais je suis qu'en 2nde et donc je ne connais pas le sens des notations 4! ou 3!.
Que veulent-elles dire ?
Estelle
Merci Sticky.
La famille Dobson est formée du père, de la mère et de plusieurs enfants. La moyenne des âges des membres de cette famille est 18 ans. Si l'on ne tient pas compte du père, âgé de 38 ans, la moyenne des âges de la famille diminue et vaut alors 14ans. Combien a-t-il d'enfants dans la famille Dobson ?
A) 2 B) 3 C) 4 D) 5 E) 6
Merci.
Estelle
Si tu veux:
Admettons que la famille soit composée de n personnes (2 parents et n-2 enfants)
notons les âges des différents membres de la famille et on suppose que
est l'âge du père donc
on a donc
de plus
ainsi
c'est donc une famille de 6 personnes avec 2 parents et 4 enfants.
Une boîte contient 36 balles bicolores. 15 sont rouges et bleues, 12 sont bleues et vertes et 9 sont vertes et rouges. Quel est le nombre minimal de balles à prendre dans cette boîte pour être sûr d'en avoir au moins 7 possédant une couleur commune ?
A) 7 B) 8 C) 9 D) 10 E) 11
Merci.
Estelle
soit x, y et z le nombre de balles de chaque type tirées.
On doit avoit
x+y>=7
z+y>=7
x+z>=7
Don x+y+z>=21/2
Il faut donc en tirer 11 au minimum (réponse E)
Merci NF2.
Soit X un nombre entier positif. Y est la somme des chiffres de X. Z vaut Y ou la somme des chiffres de Y. Combien d'entiers positifs X satisfont la condition X+Y+Z=60 ?
A) 0 B) 1 C) 2 D) 3 E) plus de 3
Estelle
Autant pour moi Estelle.. Je viens de m'apercevoir que j'ai fait une erreur .La situation la plus défavorable est :
x+y=6
z+y=6
x+z=6
Soit (x+y+z)=9
Il suffit de faire un tirage pour qu'une des 3 sommes ci -dessus atteigne 7.
La réponse est donc 9+1=10 (réponse D)
Parce que c'est le plus mauvais tirage possible où je n'ai pas 7 balles avec une couleur unique (mais seulement 6 pour chaque couleur).
OK merci.
En fait, les quantités de balles pour chaque lot (15, 12 et9) ne sont pas utiles ?
Estelle
D'accord merci.
Un carré de 125 cm² a été divisé en cinq parts de même aire : quarts parts carrées et une en forme de "L", comme le montre la figure. Quelle est la longueur du plus petit côté du "L" ?
A) 1 cm B) 1.2 cm C) 2(V5-2) cm D) 3(V5-1) cm E) 5(V5-2) cm
Estelle
Il suffit d'écrire que l'aire du L, contitué de deux trapèzes rectangles est égale à 2*(a+(a-e)/2)*e.
Celle d'un petit carré ((a-e)/2)2.
En prenant a=5
5,
on obtient e=55-10, soit réponse E.
Bonjour,
C'est drole, a propos de l'enigme sur les 36 balles bicolores, je n'arrivais pas a comprendre la demo de Nofotur2 alors j'ai cherche un peu et j'ai trouve 10 balles minimum avec le raisonnement suivant :
Soit 7 balles d'un seul type et c'est regle.
Soit 6 balles d'un meme type et une balle d'un autre type au choix et c'est bon.
Soit 5 balles d'un type et au pire une balle de chaque autre type qui force a prendre une 8e balle.
Soit 4 balles d;un type et deux balles de chaque autre type qui force a prendre une 9e balle.
Soit enfin, 3 balles de chaque type et une 10e balle qui en donne forcement 7 ayant une couleur commune.
Ensuite j'ai deroule la suite du topic et j'ai vu que Nofotur2 est revenu sur sa position 
Estelle sache que l'exercice sur les wagons etait propose aussi dans les enonces college. (J'ai organise le kangourou dans mon etablissement...)
minkus
Bonjour
Merci NF2.
J'ai vu ça aussi minkus (énoncé de ma petite soeur), mais déjà que je ne connaissais pas les factorielles en 2nde, alors les collégiens ?
J'avais trouvé 10 de la même manière que toi minkus.
Estelle
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