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L'allure d'une fonction

Posté par
Mouchki 03-07-16 à 03:57

Bonsoir tout le monde , on me demande de déssiner l'allure d'une fonction f qui vérifie ces conditions :
a) f est continue sur [0,1]
b) f(0)=0 , f(1)=1
c) Quelque soit x de [0;1] f(x)<=x
d) f n'est pas bijective

Posté par
Yzzre : L'allure d'une fonction 03-07-16 à 06:54

Salut,

Suffit donc de placer les points  O(0;0) et A(1;1) ;  puis tracer une courbe située sous le segment [OA] représentant une fonction non bijective...

Posté par
Mouchkire : L'allure d'une fonction 03-07-16 à 17:38

Yzz @ 03-07-2016 à 06:54

Salut,

Suffit donc de placer les points  O(0;0) et A(1;1) ;  puis tracer une courbe située sous le segment [OA] représentant une fonction non bijective...


Bah oui voilà j'ai du mal à representer une fonction non bijective

Posté par
malou Webmasterre : L'allure d'une fonction 03-07-16 à 17:56

pas beau...mais répond à ta question...

L\'allure d\'une fonction

Posté par
mdr_nonre : L'allure d'une fonction 03-07-16 à 19:06

bonjour : )

Citation :
Bah oui voilà j'ai du mal à representer une fonction non bijective
Il faut connaitre sa définition pour commencer.

Il suffit par exemple que ta fonction prenne deux fois la même valeur pour qu'elle soit non bijective.

Voici un exemple très simple :
L\'allure d\'une fonction

Et on peut en donner des exemples.

Posté par
malou Webmasterre : L'allure d'une fonction 03-07-16 à 19:09

la mienne ne te plaisait pas ?

Posté par
Yzzre : L'allure d'une fonction 03-07-16 à 20:57

C'était à une représentation du type dromadairesque (celle de malou) à laquelle je pensais  

Posté par
malou Webmasterre : L'allure d'une fonction 03-07-16 à 21:01

je l'sentais ! comme à la craie !

Posté par
mdr_nonre : L'allure d'une fonction 04-07-16 à 12:46

Bon Mouchki, quand tu te décideras à revenir sur ton exercice, si tu veux aller un peu plus loin voici une remarque pour terminer, la fonction : f : \left\{\begin{matrix}[0 , 1] &\longrightarrow& \R \\ x &\longmapsto& x\end{matrix}\right. n'est pas bijective elle aussi.
La mention des ensembles de départ et d'arrivée est indispensable.

Ainsi, pour ton exercice, voici un exemple de fonction qui convient :
L\'allure d\'une fonction

Les deux fonctions représentées ici (en vert et orange foncé) sont bien x \longmapsto x définies sur [0 , 1].
Mais en orange clair est représenté l'ensemble d'arrivée de f qui est plus grand strictement que [0 , 1] et c'est là la subtilité.

Une fonction strictement monotone n'est pas toujours bijective.
De même qu'une fonction bijective n'est pas toujours strictement monotone.

Après, lorsqu'on commence à ajouter la condition de continuité à la stricte monotonie on parvient à caractériser des fonctions bijectives avec e.g. le corollaire du TVI.

Posté par
Mouchkire : L'allure d'une fonction 05-07-16 à 02:18

malou @ 03-07-2016 à 17:56

pas beau...mais répond à ta question...

L\'allure d\'une fonction

mdrr trop beau , merci

Posté par
Mouchkire : L'allure d'une fonction 05-07-16 à 02:27

mdr_non @ 04-07-2016 à 12:46

Bon Mouchki, quand tu te décideras à revenir sur ton exercice, si tu veux aller un peu plus loin voici une remarque pour terminer, la fonction : f : \left\{\begin{matrix}[0 , 1] &\longrightarrow& \R \\ x &\longmapsto& x\end{matrix}\right. n'est pas bijective elle aussi.
La mention des ensembles de départ et d'arrivée est indispensable.

Ainsi, pour ton exercice, voici un exemple de fonction qui convient :
L\'allure d\'une fonction

Les deux fonctions représentées ici (en vert et orange foncé) sont bien x \longmapsto x définies sur [0 , 1].
Mais en orange clair est représenté l'ensemble d'arrivée de f qui est plus grand strictement que [0 , 1] et c'est là la subtilité.

Une fonction strictement monotone n'est pas toujours bijective.
De même qu'une fonction bijective n'est pas toujours strictement monotone.

Après, lorsqu'on commence à ajouter la condition de continuité à la stricte monotonie on parvient à caractériser des fonctions bijectives avec e.g. le corollaire du TVI.


Bonsoir , désolé pour le retard , j'avais posté d'autres problèmes du coup j'ai oublié celui là , en fait j'avais pas bien saisi ton exemple , je sais qu'une fonction qui est strictement monotone n'est pas toujours une bijection parce que la stricte monotonie nous donne que l'injection de la fonction , il faut la continuité pour avoir la surjection ,
en d'autres parts je sait qu'une fonction bijective n'est pas toujours strictement monotone , la stricte monotonie + la continuité sont des conditions suffisantes et non nécessaires pour la bijection , on a une implication et non une équivalence .
Concernant ce que tu viens de dire , j'ai pas compris la relation avec l'ensemble de départ/Arrivée avec la monotonie/bijection .
Merci de bien vouloir m'expliquer et me corriger si j'ai commis des erreurs

Posté par
mdr_nonre : L'allure d'une fonction 05-07-16 à 06:11

Tu as commis des erreurs oui. En réalité tout ce que tu as dit est faux.
Et même, tout ce que tu as dit n'a pas trop de sens puisque tu ne parles pas des ensembles de départ et d'arrivée.
N'ai-je pas insisté sur le fait que la mention des ensembles de départ et d'arrivée est indispensable ?

Bon okay, il y a quand même un point qui n'est pas faux : Si une fonction est strictement monotone alors elle est injective.
Attention toutefois, la réciproque est fausse comme déjà dit.

Pour pousser encore, une fonction injective ET continue est strictement monotone.

*** *** *** *** ***
Pour bien comprendre la bijectivité tu dois d'abord comprendre l'injectivité et la surjectivité.

Soient I et J deux ensembles quelconques et la fonction f : I \longrightarrow J.

*** *** ***
INJECTIVITE :

Définition : f est injective sur I si, tout élément de J a au plus un antécédent dans I par f.
Dit autrement, elle ne prend jamais deux fois la même valeur.

Ainsi, pour représenter graphiquement une fonction injective (ou non), il s'agira essentiellement de jouer sur l'ensemble de départ I.
Pour construire f non injective : il suffit qu'elle prenne au moins deux fois la même valeur, i.e. qu'un élément de J ait au moins deux antécédents dans I par f.


Exemples : On prend f définie par f(x) = x^2.
Comme on se fout complètement de l'ensemble d'arrivée ici, on prendra J = \R.

Lorsque I = [0 , 2] alors f est injective (car strictement monotone).
Lorsque I = [0 , 2]\cup\{-2\} alors f est non injective. En effet, 4 a deux antécédents dans I par f : 2 et -2.
Vois-tu de quelle façon on joue avec l'ensemble de départ ? Il a suffi d'ajouter -2 par rapport au cas précédent.
Lorsque I = [-1 , 1], f est non injective car par exemple f(-1) = f(1) = 1.

*** *** ***
SURJECTIVITE :

Définition : f est surjective de I sur J si, tout élément de J a au moins un antécédent dans I par f.

Ainsi, pour représenter graphiquement une fonction surjective (ou non), il s'agira essentiellement de jouer sur l'ensemble d'arrivée J.
Pour construire f non surjective : il suffit qu'un élément de son ensemble d'arrivée J n'ait aucun antécédent dans I par elle.


Exemples : On prend f définie par f(x) = x^2.

Lorsque I = [0 , 2] et J = [0 , 4] alors f est surjective (car f([0 , 2]) = [0 , 4]).
Lorsque I = [0 , 2] et J = [0 , 4]\cup\{5\} alors f est non injective. En effet, 5 n'a aucun antécédent dans I par f.
Vois-tu de quelle façon on joue avec l'ensemble d'arrivée ? Il a suffi d'ajouter 5 par rapport au cas précédent.
Lorsque I = [-1 , 1] et J = [0 , 1] alors f est surjective.

*** *** ***
BIJECTIVITE :

Définition : f est bijective de I sur J si, elle est injective sur I et surjective de I sur J.
Dit autrement, tout élément de J possède un et un seul antécédent dans I par f.


Exemples : On prend f définie par f(x) = x^2.

Lorsque I = [0 , 2] et J = [0 , 4] alors f est bijective d'après ce qui précéde sur l'injectivité et la surjectivité.
Lorsque I = [0 , 2] et J = [0 , 4]\cup\{5\} alors f est non bijective.

Plus fun :
Lorsque I = \{0\} et J = \{0 , 1\} alors f est injective et non surjective ;
Lorsque I = \{-1 , 1\} et J = \{1\} alors f est non injective et surjective ;
Lorsque I = \{-1 , 1\} et J = \{0 , 1\} alors f est non injective et non surjective ;
Lorsque I = \{0\} et J = \{0\} alors f est bijective.
***

Posté par
mdr_nonre : L'allure d'une fonction 05-07-16 à 06:20

Il y a une petite erreur de frappe :

mdr_non @ 05-07-2016 à 06:11

...
*** *** ***
SURJECTIVITE :
...

Exemples : On prend f définie par f(x) = x^2.

Lorsque I = [0 , 2] et J = [0 , 4] alors f est surjective (car f([0 , 2]) = [0 , 4]).
Lorsque I = [0 , 2] et J = [0 , 4]\cup\{5\} alors f est non surjective. En effet, 5 n'a aucun antécédent dans I par f.
Vois-tu de quelle façon on joue avec l'ensemble d'arrivée ? Il a suffi d'ajouter 5 par rapport au cas précédent.
Lorsque I = [-1 , 1] et J = [0 , 1] alors f est surjective.
...

Posté par
Mouchkire : L'allure d'une fonction 07-07-16 à 17:56

mdr_non @ 05-07-2016 à 06:11

Tu as commis des erreurs oui. En réalité tout ce que tu as dit est faux.
Et même, tout ce que tu as dit n'a pas trop de sens puisque tu ne parles pas des ensembles de départ et d'arrivée.
N'ai-je pas insisté sur le fait que la mention des ensembles de départ et d'arrivée est indispensable ?

Bon okay, il y a quand même un point qui n'est pas faux : Si une fonction est strictement monotone alors elle est injective.
Attention toutefois, la réciproque est fausse comme déjà dit.

Pour pousser encore, une fonction injective ET continue est strictement monotone.

*** *** *** *** ***
Pour bien comprendre la bijectivité tu dois d'abord comprendre l'injectivité et la surjectivité.

Soient I et J deux ensembles quelconques et la fonction f : I \longrightarrow J.

*** *** ***
INJECTIVITE :

Définition : f est injective sur I si, tout élément de J a au plus un antécédent dans I par f.
Dit autrement, elle ne prend jamais deux fois la même valeur.

Ainsi, pour représenter graphiquement une fonction injective (ou non), il s'agira essentiellement de jouer sur l'ensemble de départ I.
Pour construire f non injective : il suffit qu'elle prenne au moins deux fois la même valeur, i.e. qu'un élément de J ait au moins deux antécédents dans I par f.


Exemples : On prend f définie par f(x) = x^2.
Comme on se fout complètement de l'ensemble d'arrivée ici, on prendra J = \R.

Lorsque I = [0 , 2] alors f est injective (car strictement monotone).
Lorsque I = [0 , 2]\cup\{-2\} alors f est non injective. En effet, 4 a deux antécédents dans I par f : 2 et -2.
Vois-tu de quelle façon on joue avec l'ensemble de départ ? Il a suffi d'ajouter -2 par rapport au cas précédent.
Lorsque I = [-1 , 1], f est non injective car par exemple f(-1) = f(1) = 1.

*** *** ***
SURJECTIVITE :

Définition : f est surjective de I sur J si, tout élément de J a au moins un antécédent dans I par f.

Ainsi, pour représenter graphiquement une fonction surjective (ou non), il s'agira essentiellement de jouer sur l'ensemble d'arrivée J.
Pour construire f non surjective : il suffit qu'un élément de son ensemble d'arrivée J n'ait aucun antécédent dans I par elle.


Exemples : On prend f définie par f(x) = x^2.

Lorsque I = [0 , 2] et J = [0 , 4] alors f est surjective (car f([0 , 2]) = [0 , 4]).
Lorsque I = [0 , 2] et J = [0 , 4]\cup\{5\} alors f est non injective. En effet, 5 n'a aucun antécédent dans I par f.
Vois-tu de quelle façon on joue avec l'ensemble d'arrivée ? Il a suffi d'ajouter 5 par rapport au cas précédent.
Lorsque I = [-1 , 1] et J = [0 , 1] alors f est surjective.

*** *** ***
BIJECTIVITE :

Définition : f est bijective de I sur J si, elle est injective sur I et surjective de I sur J.
Dit autrement, tout élément de J possède un et un seul antécédent dans I par f.


Exemples : On prend f définie par f(x) = x^2.

Lorsque I = [0 , 2] et J = [0 , 4] alors f est bijective d'après ce qui précéde sur l'injectivité et la surjectivité.
Lorsque I = [0 , 2] et J = [0 , 4]\cup\{5\} alors f est non bijective.

Plus fun :
Lorsque I = \{0\} et J = \{0 , 1\} alors f est injective et non surjective ;
Lorsque I = \{-1 , 1\} et J = \{1\} alors f est non injective et surjective ;
Lorsque I = \{-1 , 1\} et J = \{0 , 1\} alors f est non injective et non surjective ;
Lorsque I = \{0\} et J = \{0\} alors f est bijective.
***

Merci beaucoup , reste une dernière chose que j'ai pas encore compris , c'est la courbe que t'as dessiné juste avant ce dernier message , qu'elle l'ensemble de départ/arrivé que t'as choisi pour que tu aies la courbe orange , sinon j'ai une petite question dans ce que tu viens de dire c'est :
f est bijective si elle est injective et surjective , ça veut dire une implication comme tu viens de le citer . ou bien f est bijective si et seulement si elle est surjective et injective ç,à,d une équivalence ?

Posté par
malou Webmasterre : L'allure d'une fonction 07-07-16 à 18:04

merci de ne pas abuser des citations complètes ainsi, les posts deviennent longs et illisibles !

alors : f est bijective équivaut à f injective et surjective (avec les ensembles de départ et d'arrivée bien sûr précisés)

l'autre question :
la courbe orange a pour ensemble de départ [0;1] et pour ensemble d'arrivée [-0,5 ; 1] ce qui la rend non bijective (car des points de l'ensemble d'arrivée n'ont pas d'antécédent)

Posté par
mdr_nonre : L'allure d'une fonction 07-07-16 à 18:23

Ecrire l'équivalence est totalement inutile mais si tu veux l'écrire sous la forme d'équivalence tu peux effectivement.

En fait pour rester homogène, la définition d'une fonction bijective est :
Définition : f est bijective de I sur J si, tout élément de J possède un et un seul antécédent dans I par f.
Ensuite, tu as le théorème : f est bijective de I sur J si et seulement si elle est injective sur I et surjective de I sur J.

Posté par
Mouchkire : L'allure d'une fonction 08-07-16 à 02:55

mdr_non

Merci beaucoup encore pour m'expliquer ^^


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