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Niveau seconde
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l'ordre dans R

Posté par
bouchaib
30-10-20 à 00:37

bonsoir,
exercice :
  a   et   b    sont    deux    réels    positifs, soit     a  =1-b    ;   montrer que \left<a+\frac{1}{a} \right>^{2} +\left<b+\frac{1}{b} \right>^{2} \geq \frac{25}{2}.
j'ai essayé de développer et de remplacer   je n'ai rien vu venir pour débloquer.
je voudrais une piste pour résoudre cette question.
Merci par avance

Posté par
Maru0
re : l'ordre dans R 30-10-20 à 01:26

écris tout en fonction de a. Tu veux donc montrer quelque chose de la forme f(a) \geq \frac{25}{2}, qui est donc équivalent à f(a) - \frac{25}{2} \geq 0, qui est donc équivalent à (f(a) - \frac{25}{2})a^2(1-a)^2 \geq 0.
Cela revient à étudier le signe d'un polynôme sur ]0 ; 1[
En cherchant un peu, ce polynôme se factorise.

Posté par
bouchaib
re : l'ordre dans R 30-10-20 à 13:31

bonjour,
toujours bloqué à l'exercice précédent.
ce que j'ai fait :
(a+1/a)^{2}+((1 -a)+\frac{1}{1-a})^{2}- \frac{25}{2}
équivaut à :
2a^{2}-2a+5+ \frac{1}{a^{2}} +\frac{1}{(1-a)^{2}} -\frac{25}{2}, après je ne peux avoir le produit de Maru0 posté ci-dessus.
Merci de me débloquer

Posté par
Sylvieg Moderateur
re : l'ordre dans R 30-10-20 à 13:56

Bonjour,
Il n'y a pas une question avant ?

Posté par
Maru0
re : l'ordre dans R 30-10-20 à 14:12

Je n'ai pas écrit que les quantités étaient équivalentes, ou égales.
J'ai dit que les inégalités étaient équivalentes.

Mon produit vient de la proposition suivante :

Si \alpha > 0, alors pour tout réel \beta, on a :

\beta \geq 0 \Leftrightarrow \beta \times \alpha \geq 0


En regardant ton profil, j'ai vu "Licence Maths 1e ann", j'ai donc pensé qu'il n'y avait pas à préciser plus que je ne l'avais fait.
Si c'est une erreur, je peux faire des réponses plus détaillées.

Posté par
bouchaib
re : l'ordre dans R 30-10-20 à 14:13

Merci

Posté par
bouchaib
re : l'ordre dans R 30-10-20 à 14:14

Il n'y a pas de question avant !
Merci

Posté par
carpediem
re : l'ordre dans R 30-10-20 à 14:21

salut

tu n'a pas fait ce que Maru0 te propose ...

et je suggère même de multiplier par 2 ... pour se débarrasser de la fraction ...

Posté par
bouchaib
re : l'ordre dans R 30-10-20 à 17:51

j'ai compris les messages  mais toujours bloqué . je me trouve à chaque fois dans des calculs longs.

Posté par
Maru0
re : l'ordre dans R 30-10-20 à 18:02

Parfois il faut mettre la main à la pâte.
La méthode que je te propose demande de calculer un peu (factoriser un polynôme de degré 6).

Indice : l'expression initiale est une expression quadratique symétrique en 1/2, donc il y a de fortes chances que 1/2 soit racine double du polynôme.

Posté par
carpediem
re : l'ordre dans R 30-10-20 à 18:18

f(a) = \left(a + \dfrac 1 a \right)^2+ \left(b + \dfrac 1 b \right)^2 = \dfrac 1 {a^2 (1 - a)^2} [(1 -a)^2(a^2 + 1) + a^2((1 - a)^2 + 1]

a^2(1 - a)^2 [2f(a) - 25] = 4a^2(1 - a)^2 + 2a^2 + 2(1 - a)^2 - 25a^2(1 - a)^2 = 4a^2(1 - a)^2 + 2 - 4a(1 - a) - 25a^2(1 - a)^2 = (2a(1 - a) - 1)^2 - 25a^2(1 - a)^2 + 1

ouais bof ... faut voir ...

Posté par
bouchaib
re : l'ordre dans R 30-10-20 à 18:31

merci

Posté par
Maru0
re : l'ordre dans R 30-10-20 à 18:31

Une deuxième méthode avec moins de calculs.
Trace dans le plan l'ensemble \{ (a + \frac1a , 1-a + \frac{1}{1-a}) \hspace{0.2em} | \hspace{0.2em} a \in ]0 ; 1[ \}.
Donc tu cherches à montrer que la distance entre ce tracé et l'origine est supérieure ou égale à \frac{25}{2}.
Le résultat se voit sur le dessin.
On peut cependant affirmer que ce n'est pas rigoureux.

Posté par
Maru0
re : l'ordre dans R 30-10-20 à 18:33

supérieure ou égale à \sqrt{\frac{25}{2}}*

Posté par
Sylvieg Moderateur
re : l'ordre dans R 30-10-20 à 18:43

Bonsoir,
J'ai essayé des calculs un peu différents pour conserver la symétrie entre a et b :
Poser \; a = (1/2) + c \; et \; b = (1/2) - c . On a alors \; -1/2 < c < 1/2 .

Mais les calculs n'ont pas l'air beaucoup plus sympathiques
Il y a sans doute une astuce...

Posté par
Maru0
re : l'ordre dans R 30-10-20 à 18:48

La solution graphique plus haut ne demande que très peu de calculs.
Si elle ne va toujours pas, je veux bien essayer d'en trouver une autre.

Cela dit, certains profs donnent des exercices uniquement pour faire calculer les élèves.
Surtout en première année dans le supérieur.

Auquel cas, c'est tout un art de trouver comment faire l'exercice sans calculer, et c'est souvent assez drôle d'ailleurs.

Posté par
bouchaib
re : l'ordre dans R 30-10-20 à 19:49

J'ai constaté que  cet exercice n'est pas intéressant.
Il m'a fatigué et je vous ai derangé aussi.
Pardon !

Posté par
carpediem
re : l'ordre dans R 30-10-20 à 20:16

f(a) = \left(a + \dfrac 1 a \right)^2+ \left(b + \dfrac 1 b \right)^2 = a^2 + 2 + \dfrac 1 {a^2} + (1 - a)^2 + 2 + \dfrac 1 {(1 - a)^2} = 4 - 2a(1 - a) + 1 - 2 \dfrac 1 {a(1 - a)} + \left( \dfrac 1 a + \dfrac 1 {1 - a} \right)^2 = 4 - 2a(1 - a) + 1 - 2 \dfrac 1 {a(1 - a)} + \dfrac 1 {a^2(1 - a)^2} =
 \\ 
 \\ 4 - 2a(1 - a) + \left(1 - \dfrac 1 {a(1 - a)} \right)^2

je pose x = a(1 - a) avec 0 < a < 1

0 < x < \dfrac 1 4 \iff 4 < \dfrac 1 x < +oo \iff -oo < - \dfrac 1 x < - 4 \iff -oo < 1 - \dfrac 1 x < - 3 \iff 9 < \left(1 - \dfrac 1 x \right)^2

on en déduit alors que f(a) > 4 - \dfrac 1 2 + 9 = \dfrac {25} 2

ouf !!!

ça fait un bout de temps que je suis dessus ...

d'autre part on a f(1/2) = 25/2 d'où e résultat ...

Posté par
carpediem
re : l'ordre dans R 30-10-20 à 20:20

bouchaib @ 30-10-2020 à 19:49

J'ai constaté que  cet exercice n'est pas intéressant.
Il m'a fatigué et je vous ai derangé aussi.
Pardon !
ben c'est bien dommage !!

un exercice est d'autant plus intéressant quand il (et je pense que pour d'autres aussi) me résiste ...

c'est ainsi qu'on se dépasse et qu'on progresse !!! car on développe  l'imaginaire, la créativité, on stimule nos connaissances, on produit des idées, on les tord (car combien d'erreurs ou de chemins sans issue ai-je pris !!) pour enfin atteindre le merveilleux et la maitrise de son art ...

Posté par
bouchaib
re : l'ordre dans R 30-10-20 à 20:21

Merci.
Et pardon !

Posté par
bouchaib
re : l'ordre dans R 30-10-20 à 20:22

Exact !

Posté par
bouchaib
re : l'ordre dans R 30-10-20 à 21:54

Exact !
Pardon M.Carpediem,
  0<x<1 car 0<a<1
     -1<-a<0  equivaut à  0<1-a<1
Equivaut à  0<a(1-a)<1
Svp d'où venait  0<x<1/4.
Pardon

Posté par
Sylvieg Moderateur
re : l'ordre dans R 31-10-20 à 06:51

Bonjour de bon matin,
Avec x = a(1-a) , on a x > 0 car a > 0 et 1-a = b > 0.
Et (1/4) - x = a2 - a + 1/4 est une identité remarquable.

Posté par
carpediem
re : l'ordre dans R 31-10-20 à 09:31

ou aussi tu peux étudier la fonction x --> x(1 - x) sur l'intervalle [0, 1] ....

Posté par
bouchaib
re : l'ordre dans R 31-10-20 à 18:08

Merci à vous tous. belle journée!

Posté par
carpediem
re : l'ordre dans R 31-10-20 à 18:27

de rien et à toi aussi

Posté par
Sylvieg Moderateur
re : l'ordre dans R 01-11-20 à 09:22

Bonsoir,
Je n'ai pas trouvé d'astuce
Je me suis résignée à faire les calculs avec \; c = a - \dfrac{1}{2} . Donc \; a = \dfrac{1}{2}+c \; et \; b = \dfrac{1}{2}-c
Pas vraiment agréable !

E = \left(a+\dfrac{1}{a} \right)^{2} +\left(b+\dfrac{1}{b} \right)^{2} - \dfrac{25}{2} . On cherche à démontrer \; E \geq 0 .

E = \dfrac{N}{D} \; avec \; D = (1 - 4c^{2})^{2} \; et \; N = 2c^{2}(16c^{4} - 72c^{2} + 49)

Le signe de \; E \; s'en déduit facilement.

Etonnant : Le discriminant de \; 16x2 - 72x + 49 \; est \; 211 .



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