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Niveau seconde
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l'ordre dans R

Posté par
bouchaib
09-11-20 à 22:56

Bonsoir,
Exercice(S'il vous plait) :
Sur un livre je lis : a et b sont deux réels strictement positifs tels que  ab . Montrer que :

a\leq \frac{2}{\frac{1}{a}+\frac{1}{b}}\leq \sqrt{ab}\leq \frac{a+b}{2}\leq \frac{\sqrt{a^{2}+b^{2}}}{2} \leq b; certaines inégalités ici sont évidentes d'après les données .
\frac{a+b}{2}     n'est pas inférieure à   \frac{\sqrt{a^{2}+b^{2}}}{2}.
merci de me corriger.

Posté par
Maru0
re : l'ordre dans R 09-11-20 à 23:02

Tu as raison. Regarde ce qu'il se passe pour a=b :
l'inégalité donnerait a \leq \frac{1}{\sqrt{2}} a

Posté par
azerti75
re : l'ordre dans R 09-11-20 à 23:03

Ex en effet (a+b)/2 est supérieure

a = 4 et b= 3
on obtient 7/2 et 5/2

Posté par
Maru0
re : l'ordre dans R 09-11-20 à 23:03

Ou pour le voir topologiquement : la boule pour la norme 1 est contenue dans la boule pour la norme 2

Posté par
azerti75
re : l'ordre dans R 09-11-20 à 23:04

En effet (a+b)/2 est supérieure

Ex a = 3 et b= 4
on obtient 7/2 et 5/2

Posté par
azerti75
re : l'ordre dans R 09-11-20 à 23:06

Bonsoir,

Je vais laisser Maru0 poursuivre

Posté par
bouchaib
re : l'ordre dans R 09-11-20 à 23:10

Merci à tous !
Donc je  laisse tomber cet exercice car erroné

Posté par
Sugaku
re : l'ordre dans R 10-11-20 à 12:28

Bonjour, l'énoncé est effectivement faux. Un énoncé correcte étant de placé la division par 2 à l'intérieur de la racine plutôt qu'à l'extérieur.
En effet, l'inégalité correcte ici est \frac{a+b}{2}\le \sqrt{\frac{a^2+b^2}{2}}.

Posté par
bouchaib
re : l'ordre dans R 10-11-20 à 13:57

Merci beaucoup Sugaku ! Et toute la communauté du forum.

Posté par
bouchaib
re : l'ordre dans R 10-11-20 à 14:08

Oui ça marche avec 2 sous racine au dénominateur à l'avant dernier membre de l'inégalité complexe !



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