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Niveau seconde
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l'ordre dans R

Posté par
bouchaib
10-11-20 à 00:09

bonsoir,
exercice :
  a, b, c  et d sont des nombres réels strictements positifs tels que a<b et c<d,

Montrer que  ac +bd (1/2)(a+c)(b+d).
Ma réponse :

a\prec b      et     c\prec d       donc       ac\prec bd

donc  ac+bd < 2bd ,  puis je compare 2bd avec le deuxième membre de l'inégalité à démontrer, et donc on a :

\frac{ab+ad+bc+bd-4bd}{2}=\frac{ab+ad+bc-3bd}{2} ; puis je procède de la manière suivante( bc<bd) et (ad<bd) mais il m'est impossible de comparer (ab et  bd) autrement j'arrive à répondre à la question demandée de l'exercice.
Ai-je raison ?
merci par avance.

Posté par
Maru0
re : l'ordre dans R 10-11-20 à 01:53

Pour  a=2, b=3  et  c=10, d=15, l'inégalité que tu veux montrer est équivalente à

2 \times 10 + 3 \times 15 \geq \frac{(2 + 10) \times (3 + 15)}{2}

C'est-à-dire 65 \geq 108

C'est une erreur d'énoncé ?

Posté par
bouchaib
re : l'ordre dans R 10-11-20 à 09:52

Merci et pardon !
Et donc je dois jeter ce livre truffé d'erreurs !

Posté par
carpediem
re : l'ordre dans R 10-11-20 à 20:56

salut

la question ne serait-elle pas de démontrer :

si 0 < a \le b $ et $ 0 < c \le d alors ac + bd \ge \dfrac 1 2 (a + b)(c + d) ?

Posté par
bouchaib
re : l'ordre dans R 10-11-20 à 23:22

Merc i .
Dans le livre ce que j'ai écrit au début.
Je vais démontrer avec la forme que vous avez proposée !
Merci encore Carpediem.



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