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La continuité 2

Posté par
Mathes1
17-11-20 à 21:58

Bonjour à tous
J'ai un exercice merci beaucoup d'avance
Soit f la fonction numérique définie sur l'intervalle I=[4;+[ par :
f(x)=(x-2\sqrt{x})^{3}
1) montrer que :
\lim_{x \to +\infty} f(x)=+\infty
2) justifier la continuité de la fonction f sur I
3-a)
Vérifier que pour tout xI:
f(x)=\left( (\sqrt{x}-1)²-1\right)³
b) on Deduire que la fonction f est strictement croissante sur l'intervalle I
4-a) montrer que f admet une fonction réciproque f-1 (x) définie sur un intervalle J à déterminer
b) calculer f-1 (x) pour tout x J
1)
\lim_{x \to+\infty } (x-2\sqrt{x})³
il faudra transformer l'expression :
x-2\sqrt{x} lorsque x tend vers +
Donc
x-2\sqrt{x} =\dfrac{(x-2\sqrt{x})(x+2\sqrt{x})}{x+2\sqrt{x}}=\dfrac{x²-4x}{x+2\sqrt{x}}=\dfrac{x(x-4)}{x(1+2\sqrt{\dfrac{1}{x}})}=\dfrac{x-4}{1+2\sqrt{\dfrac{1}{x}}}=+\infty
D'où \boxed{\lim_{x \to +\infty} (x-2\sqrt{x})³=+\infty}
2) \lim_{x \to 4} (x-2\sqrt{x})³=4-2\sqrt 4)³=0=f(4)
D'où f est continue en 4
•La fonction xx est continue sur en particulier sur I car c'est une fonction polynomial
•la fonction x2\sqrt{x}est continue sur I car c'est une fonction usuelle
D'où la fonction f est continue sur I en tant que la somme de deux fonction continue sur I
3)a) f(x)=((\sqrt{x}-1)²-1)³=(\sqrt{x}²-2\sqrt{x}×1+1²-1)³=(x-2\sqrt{x}]³
b) puisque la question a dit Deduire donc pas besoin de Dériver cette fonction pour connaître sa monotonie
f(x)=((\sqrt{x}-1)²-1)³ est strictement croissante car f>0
Merci beaucoup d'avance

Posté par
bbjhakan
re : La continuité 2 17-11-20 à 22:31

bonsoir

pour le calcul de la limite en 1) factoriser directement par x (comme vous l'avez fait plus loin dans le dénominateur) suffit pour conclure
en 2) pourquoi calculer une limite en 4 si f est définie sur [4;+[ ?

en 3)b le raisonnement n'est pas bon.
que peux t on dire de la monotonie de x \mapsto (\sqrt x -1)^2-1 et de x \mapsto x^3 sur I ?

Posté par
Mathes1
re : La continuité 2 17-11-20 à 22:41

Bonjour
Merci beaucoup de m'avoir répondu !
En 2) est ce que pas besoin de calculer la limite en 4 , j'écrivais juste le reste
En 3) je dois dériver x \mapsto (\sqrt x -1)^2-1 et  x \mapsto x^3
(x \mapsto (\sqrt x -1)^2-1 )'=1-\dfrac{1}{\sqrt{x}}
Et (x3)'=3x2
Merci beaucoup

Posté par
bbjhakan
re : La continuité 2 17-11-20 à 22:45

en 2) effectivement pas de calcul de limite puisque f(4)=0 sans passer par une limite
f n'est pas la somme de ces deux termes, il manque quelque chose mais c'est dans l'idée

sans même dérivée
quelle est la monotonie de x \mapsto \sqrt x donc de x \mapsto \sqrt x -1 sur I ? (ne pas oublier que I = [ 4; +[

et on continue comme ça jusqu'à reconstruire f

Posté par
Mathes1
re : La continuité 2 17-11-20 à 22:58

Bonjour
2) ne ne sais pas quoi manque  
3-b) est ce que je dois tracer le tableau de variation ?
Merci beaucoup

Posté par
bbjhakan
re : La continuité 2 17-11-20 à 23:07

est-ce que f est définie par, pour x dans I, f(x)=x-2\sqrt x ?

x \mapsto \sqrt x est croissante sur I or ajouter une constante ne change pas la monotonie d'une fonction donc x \mapsto \sqrt x-1 croissante sur I et donc x \mapsto (\sqrt x -1)^2 ..... car ... ??

Posté par
Mathes1
re : La continuité 2 17-11-20 à 23:15

Bonjour
Oh oui f est définie sur son Domaine de définition donc sur Df=[0;+[ qui est inclus dans [4;+[ , j'ai oublié
•donc x \mapsto (\sqrt x -1)^2 est toujours croissante car un nombre au carré donne toujours un nombre strictement positif
x \mapsto (\sqrt x -1)^2-1 ne change pas de monotonie reste toujours positif et aussi lever a un puissance positif (3>0 ) la fonction va rester positif
D'où la fonction f est strictement croissante sur I

Posté par
bbjhakan
re : La continuité 2 17-11-20 à 23:19

non, il suffit de rajouter à votre argument qu'en prenant le cube d'une fonction continue, la fonction est toujours continue..

pourquoi parlez-vous de positivité?
en prenant le carré, peut-on assurer que la fonction reste croissante? (autrement dit est-ce que x \mapsto x^2 est toujours croissante?)

Posté par
Mathes1
re : La continuité 2 17-11-20 à 23:27

Donc est ce que c'est juste ?
Merci beaucoup

Posté par
bbjhakan
re : La continuité 2 17-11-20 à 23:29

pour quelle question?

Posté par
Mathes1
re : La continuité 2 17-11-20 à 23:31

La question de la monotonie de la fonction f

Posté par
bbjhakan
re : La continuité 2 17-11-20 à 23:33

bah non
on peut affirmer que le carré est croissant car x \mapsto x^2 est croissant sur [0; + [ donc en particulier sur I, pas parce que c'est positif.
que peut-on dire pour le cube ?

Posté par
Mathes1
re : La continuité 2 17-11-20 à 23:41

Bonjour
Pour le cube est aussi croissant sur [0;+[ en particulier sur I

Posté par
bbjhakan
re : La continuité 2 17-11-20 à 23:44

excuse moi il faut préciser qu'il s'agit d'une croissance stricte pour conclure mais c'est bien ça puisqu'en composant une fonction strictement croissante par une fonction strictement croissante, elle reste strictement croissante

Posté par
Mathes1
re : La continuité 2 17-11-20 à 23:48

Bonjour
Merci beaucoup à vous !
Est ce que c'est bon pour la monotonie (strictement croissante) merci beaucoup

Posté par
bbjhakan
re : La continuité 2 17-11-20 à 23:49

dis moi ce que tu rédigerais pour cette question et je te dis si c'est bon

Posté par
Mathes1
re : La continuité 2 17-11-20 à 23:54

Bonjour
Récapitulatif

Citation :
x \mapsto \sqrt x est croissante sur I or ajouter une constante ne change pas la monotonie d'une fonction donc x \mapsto \sqrt x-1 croissante sur I et donc x \mapsto (\sqrt x -1)^2est toujours croissante car un nombre au carré donne toujours un nombre strictement positif
x \mapsto (\sqrt x -1)^2-1 ne change pas de monotonie reste toujours positif et aussi lever a un puissance positif (3>0 ) la fonction va rester positif
D'où la fonction f est strictement croissante sur I

Posté par
bbjhakan
re : La continuité 2 17-11-20 à 23:58

pourquoi ne prends tu pas en compte ce que je t'ai dit après ça?  surtout mon message de 23:33

je quitte pour le moment, je reviendrai demain

Posté par
Mathes1
re : La continuité 2 18-11-20 à 00:00

Bonjour
Oui je suis désolé
Je dis directement que

Citation :
on peut affirmer que le carré est croissant car x \mapsto x^2 est croissant sur [0; + [ donc en particulier sur I, pas parce que c'est positif.

Posté par
bbjhakan
re : La continuité 2 18-11-20 à 12:03

penses-tu que ça suffit à justifier la stricte monotonie?
il faut tous les arguments.. relis la conversation depuis mon message à 23:07

Posté par
Mathes1
re : La continuité 2 18-11-20 à 16:32

Bonjour
Merci beaucoup à vous
Je suis perdue

Posté par
bbjhakan
re : La continuité 2 18-11-20 à 16:34

inutile de répéter bonjour à tous les messages..

pourquoi f est elle strictement croissante à partir de toutes mes remarques ?

Posté par
Mathes1
re : La continuité 2 18-11-20 à 17:04

x \mapsto \sqrt x est strictement croissante sur I or ajouter une constante ne change pas la monotonie d'une fonction donc x \mapsto \sqrt x-1 strictement croissante sur I et donc x \mapsto (\sqrt x -1)^2-1 est strictement croissante car on peut affirmer que le carré est croissant sur I et on peut dire pour le cube par définition : le cube est strictement croissant sur IR en particulier sur I
f(x)=\left( (\sqrt{x}-1)²-1\right)³
Merci beaucoup

Posté par
bbjhakan
re : La continuité 2 18-11-20 à 17:07

tu peux dire que la fonction au carré est aussi strictement croissante sur I (puisqu'elle l'est sur [0;+[)
as-tu une idée pour la question 4 ?  

Posté par
Mathes1
re : La continuité 2 18-11-20 à 17:15

D'accord:
Pour 4-a)
Puisque la fonction f est continue et strictement croissante sur I, alors elle admet une fonction réciproque définie sur l'intervalle J=f(I) avec ;
f(I)=f([4;+[)=[0;+[=J
J'ai pas changé les bornes car la fonction f est strictement croissante sur I .
J'ai calculé f(4)=0 et \lim_{x \to +\infty } f(x)=+\infty
Merci beaucoup

Posté par
bbjhakan
re : La continuité 2 18-11-20 à 17:18

exact
et la 4)b ?

Posté par
Mathes1
re : La continuité 2 18-11-20 à 17:26

Pour la 4)b)
y=f-1(x)<=> x=f(y)<=> x=[y-2\sqrt{y}]^3<=>
x=y3-3y2×2\sqrt{y}+3y(2\sqrt y)²-(2\sqrt y)³
<=> y3-6y2\sqrt{y} +12y²-8y\sqrt y - x=0
Je bloque ici une petite indications s'il vous plaît merci beaucoup d'avance

Posté par
bbjhakan
re : La continuité 2 18-11-20 à 17:33

et si tu utilisais l'autre formule de f ?

Posté par
Mathes1
re : La continuité 2 18-11-20 à 17:40

D'accord
x=f(y)<=> x=\left( (\sqrt y -1)²-1 \right)³<=> x=\left( y-2\sqrt y \right)³<=> \sqrt[3]{x}=y-2\sqrt y
<=>\sqrt[3]{x}-y+2\sqrt y=0

Posté par
bbjhakan
re : La continuité 2 18-11-20 à 17:49

pourquoi repasser à la première formule de f?
continuer avec f(y)=\left( (\sqrt y -1)^2-1\right)^3=x pour avoir une expression telle que y = une expression en x

Posté par
Mathes1
re : La continuité 2 18-11-20 à 17:55

C'est à dire :
\left( (\sqrt y -1)^2-1\right)^3=x<=> (\sqrt y-1)²-1=\sqrt[3]{x}
Je ne comprends pas
Merci beaucoup

Posté par
bbjhakan
re : La continuité 2 18-11-20 à 17:58

on peut continuer les calculs, là c'est équivalent à

(\sqrt x -1)^2=1+\sqrt[3]{x}

peut-on prendre la racine carrée? pourquoi?
si oui, faut-il prendre la solution positive ou négative? pourquoi?

Posté par
bbjhakan
re : La continuité 2 18-11-20 à 18:01

lire (\sqrt y -1)^2=1+\sqrt[3]{x} dans mon précédent message

Posté par
Mathes1
re : La continuité 2 18-11-20 à 18:17

D'accord
Je ne comprends pas vos questions
Non il ne faut pas prendre le racine carrée
Et on prend la solution petite
Je ne sais pas pourquoi
Merci beaucoup

Posté par
bbjhakan
re : La continuité 2 18-11-20 à 18:25

tu vois bien que tu as (\sqrt y -1)^2 donc pour isoler y on veut prendre la racine carrée
mais il faut s'assurer que le second membre est positif

ici on est parti de f(y)=x donc y est dans I et x dans J donc x est positif donc 1+\sqrt[3] x >0 donc on peut considérer la racine carré mais on a alors deux solutions possibles
ou bien \sqrt y -1 = + \sqrt{1+\sqrt[3] x} ou bien \sqrt y -1 =  - \sqrt{1+\sqrt[3] x}
as-tu une idée pour la suite?

Posté par
Mathes1
re : La continuité 2 18-11-20 à 18:39

D'accord
\begin{cases} y=((\sqrt{1+\sqrt[3]{x}} +1)²\\ y=(1-\sqrt{1+\sqrt[3]{x}})² \end{cases}
Et puisque l'encadrement de l'expression qui se trouve à l'intérieur de carré
Merci beaucoup

Posté par
bbjhakan
re : La continuité 2 18-11-20 à 18:43

attention
si on fait comme j'ai précisé on a soit
\sqrt y = 1+\sqrt{1+\sqrt[3] x}

soit \sqrt y =1 -\sqrt{1+\sqrt[3] x}
ne vois-tu pas un problème (par rapport aux signes) quelque part ?

Posté par
Mathes1
re : La continuité 2 18-11-20 à 18:49

Oui je vois le problème de signe en seconde expression
 \sqrt y =1 \blue{-}\sqrt{1+\sqrt[3] x}
Donc directement la fonction réciproque est la premier expression
Merci beaucoup

Posté par
bbjhakan
re : La continuité 2 18-11-20 à 18:51

en effet puisque on aurait sinon \sqrt y <0 ce qui est impossible


il faut toujours y aller étape par étape lorsque l'on cherche la fonction réciproque sans se précipiter pour vérifier que l'on peut bien écrire ce que l'on veut écrire

Posté par
Mathes1
re : La continuité 2 18-11-20 à 18:56

D'accord merci beaucoup
D'où \boxed{{\color{red}{\huge f^{-1}(x)=\left( \sqrt{1+\sqrt[3]{x}}+1\right)²}}}

Posté par
bbjhakan
re : La continuité 2 18-11-20 à 19:07

oui défini sur J

Posté par
Mathes1
re : La continuité 2 18-11-20 à 19:09

Merci beaucoup à vous
Bonne soirée

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