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La continuité d'une fonction numérique

Posté par
Mathes1 06-11-20 à 18:46

Bonjour à tous
J'ai un petit exercice merci beaucoup d'avance
Soit f la fonction numérique définie sur l'intervalle [-3;+[ par :
\begin{cases} f(x)=\dfrac{\sqrt[3]{x+3}-2}{x-5}, & \text{si } x\neq 5 \\ f(5)=\dfrac{1}{12} \end{cases}
1 montrer que la fonction f est continue sur l'intervalle [-3;+[
réponse
On a la fonction f est continue sur son domaine de définition alors continue sur Df=\{5} =]-;5[]5;+[
Ce domaine est inclus dans [-3;+[ , et de plus f est défini sur [-3;[ (d'après les données ) qui est le même intervalle ce qu'on cherche ,d'où f est continue sur [-3;+[
Est ce que c'est juste ?
Merci beaucoup

Posté par
alb12re : La continuité d'une fonction numérique 06-11-20 à 18:49

salut,
non il faut etudier la continuite en 5

Posté par
Mathes1re : La continuité d'une fonction numérique 06-11-20 à 19:40

Bonjour
D'accord merci beaucoup à vous
Étudiant la continuité en 5
\boxed{\lim_{x\to 5}=\dfrac{\sqrt[3]{x+3}-2}{x-5}=\dfrac{1}{12}}
Démonstration :
Transformation de cette expression
\dfrac{(\sqrt[3]{x+3}-2)(\sqrt[3]{x}}{}
\dfrac{(\sqrt[3]{x+3}-2)((\sqrt[3]{x+3})²+2\sqrt[3]{x+3}+4))}{(x-5)((\sqrt[3]{x+3})²+2\sqrt[3]{x+3}+4))}=\dfrac{x-5}{(x-5)((\sqrt[3]{x+3})²+2\sqrt[3]{x+3}+4))}=\dfrac{1}{((\sqrt[3]{x+3})²+2\sqrt[3]{x+3}+4))}=\red{\dfrac{1}{12}}
Puisque \boxed{\lim_{x\to 5}f(x)=f(5)=\dfrac{1}{12}}
On déduit que f est continue en 5
Merci beaucoup

Posté par
alb12re : La continuité d'une fonction numérique 06-11-20 à 19:49

si tu sais deriver (x+3)^(1/3) alors mieux vaut passer par la limite d'un taux d'accroissement

Posté par
Mathes1re : La continuité d'une fonction numérique 06-11-20 à 19:52

Bonjour
Et ma méthode est juste ?
Il faut juste transformer l'expression
"Méthode de transformation"
Merci beaucoup

Posté par
alb12re : La continuité d'une fonction numérique 06-11-20 à 19:58

sa portee n'est pas generale, il est preferable de reconnaître un taux

Posté par
Mathes1re : La continuité d'une fonction numérique 06-11-20 à 20:09

D'accord
La dérivée de \sqrt[3]{x+3} est :
\dfrac{1}{3(\sqrt[3]{x+3})²}
Substitution par 5
On trouve directement \dfrac{1}{12}
Merci beaucoup

Posté par
Mathes1re : La continuité d'une fonction numérique 06-11-20 à 20:50

Et ensuite si la fonction est continue en 5 alors elle est continue sur [-3;+[ ?
Merci beaucoup

Posté par
alb12re : La continuité d'une fonction numérique 06-11-20 à 20:56

sur ]-3;inf[ prive de 5, f est continue car c'est un quotient de fonctions continues dont le denominateur ne s'annule pas

Posté par
Mathes1re : La continuité d'une fonction numérique 06-11-20 à 20:57

Merci beaucoup
Bonne journée

Posté par
Mathes1re : La continuité d'une fonction numérique 07-11-20 à 22:31

Bonjour
Merci beaucoup de m'avoir répondu
"sur ]-3;inf[ prive de 5" c'est quoi prive
Merci beaucoup d'avance

Posté par
alb12re : La continuité d'une fonction numérique 07-11-20 à 22:42

privé de 5 veut dire qu'on enleve 5

Posté par
Mathes1re : La continuité d'une fonction numérique 07-11-20 à 22:57

Bonjour
Donc on peut dire que : f est continue en 5 alors elle est continue en [-3;+[
Merci beaucoup

Posté par
alb12re : La continuité d'une fonction numérique 08-11-20 à 08:38

la demo se fait en 2 temps
1/ f est continue sur ]-3;inf[ prive de 5 (th sur les operations sur les fonctions continues)
2/ f est continue en 5 (ce que tu as demontre en etudiant une limite)
conclusion: f est continue sur ]-3;inf[

Posté par
Mathes1re : La continuité d'une fonction numérique 08-11-20 à 09:04

Bonjour
Merci beaucoup de m'avoir répondu
Et aussi 5 est inclus dans
[-3;+[

Posté par
alb12re : La continuité d'une fonction numérique 08-11-20 à 10:06

certes mais ce n'est pas un argument pour prouver que la fonction est continue en 5


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