Niveau école ingénieur

La fonction arcsinus

Posté par
Julien83340 22-10-21 à 00:09

Bonjour/Bonsoir,
Je me présente à vous avec un petit problème.

On utilise souvent les fonctions trigonométriques sans vraiment savoir à quoi elles correspondent.
Je me demande alors s'il est possible de trouver une expression générale pour ces fonctions.
Je me suis rendu compte que les conditions sur $x$ sont nombreuses.
Je m'intéresse ici à la fonction arcsin.

$y=arcsin(x) \\ \Leftrightarrow sin(y)=x$

En utilisant les formules d'Euler, on a

$\frac{e^{iy}-e^{-iy}}{2i}=x \\ \Leftrightarrow e^{iy}-e^{-iy}=2xi \\ \Leftrightarrow (e^{iy})^2-2xi(e^{iy})-1=0$

On résout l'équation à l'aide du discriminant

$\Delta=(-2xi)^2-4(-1)=4(-x^2+1) \\ \Leftrightarrow e^{iy}=\frac{2xi\pm\sqrt{4(-x^2+1) }}{2} \\ \Leftrightarrow e^{iy}=xi\pm\sqrt{1-x^2} \\ \Leftrightarrow iy=\ln (xi\pm\sqrt{1-x^2}) \\ \Leftrightarrow y=-i\ln (xi\pm\sqrt{1-x^2}) \\ \Leftrightarrow y=-i\ln (xi(1\pm\sqrt{1-\frac{1}{x^2})) \\ \Leftrightarrow y=-i\left[ \ln (x)+ \ln (i)+\ln(1\pm\sqrt{1-\frac{1}{x^2}})\right]$

Sachant que $i=e^{i\frac{\pi}{2}}$

On a $\forall x\in]1; +\infty[, \sin^{-1}(x) =-i\left[ \ln (x)+ \frac{\pi}{2} i+\ln(1\pm\sqrt{1-\frac{1}{x^2}})\right]+2n\pi$
Avec $n\in Z$

J'aimerais donc savoir s'il y a une erreur de raisonnement ou même de calcul.
Aussi, peut-on aller plus loin ?
Est-ce juste également ?
En espérant que vous pourrez m'aider, merci.

Posté par re : La fonction arcsinus 22-10-21 à 00:52

Bonjour Julien83340

Citation :

Je m'intéresse ici à la fonction arcsin.

$y=arcsin(x) \\ \Leftrightarrow sin(y)=x$

Alors là, on va rectifier ton équivalence qui est fausse par celle là plus rigoureuse :
La fonction arcsin officielle est définie par cette équivalence :

$\begin{cases} y = \sin(x) \\x\in [-\pi/2;\pi/2] \end{cases}\Leftrightarrow \begin{cases} x = \arcsin(y) \\y\in [-1;1] \end{cases}$

Je dis officielle, car on pourrait définir d'autres arcsin sur le même modèle. Mais c'est celle-là qui possède les meilleurs vertus.

Pour définir arcsin sur $\C$ , on développe en série entière la fonction réelle et on passe sur $\C$ par prolongement analytique.

Dans la suite de tes calculs, je vois que tu manipules le logarithme complexe qui est d'un usage extrêmement délicat.

Personnellement, je me serai arrêté à la ligne $y=-i\ln (xi+\sqrt{1-x^2})$ qui dit simplement $\arcsin(x) = -i\ln (\sqrt{1-x^2}+ix), x\in [-1,1]$ : pourquoi aller plus loin ?

Posté par re : La fonction arcsinus 22-10-21 à 01:22

D'abord, je vous remercie de cette réponse rapide.
Si je suis allé plus loin, c'est pour retirer le i du logarithme, mais en effet, les lignes précédentes nous donnent déjà une expression d'arcsinus.

J'avais également pensé à passer par les séries entières, seulement, je voulais avoir une expression finie, pas une somme sur les entiers naturels.