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Niveau école ingénieur
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La fonction arcsinus

Posté par
Julien83340
22-10-21 à 00:09

Bonjour/Bonsoir,
Je me présente à vous avec un petit problème.

On utilise souvent les fonctions trigonométriques sans vraiment savoir à quoi elles correspondent.
Je me demande alors s'il est possible de trouver une expression générale pour ces fonctions.
Je me suis rendu compte que les conditions sur x sont nombreuses.
Je m'intéresse ici à la fonction arcsin.

y=arcsin(x)
 \\ \Leftrightarrow sin(y)=x

En utilisant les formules d'Euler, on a

\frac{e^{iy}-e^{-iy}}{2i}=x
 \\ \Leftrightarrow e^{iy}-e^{-iy}=2xi
 \\ \Leftrightarrow (e^{iy})^2-2xi(e^{iy})-1=0

On résout l'équation à l'aide du discriminant

\Delta=(-2xi)^2-4(-1)=4(-x^2+1)
 \\ \Leftrightarrow e^{iy}=\frac{2xi\pm\sqrt{4(-x^2+1) }}{2}
 \\ \Leftrightarrow e^{iy}=xi\pm\sqrt{1-x^2}
 \\ \Leftrightarrow iy=\ln (xi\pm\sqrt{1-x^2}) 
 \\ \Leftrightarrow y=-i\ln (xi\pm\sqrt{1-x^2}) 
 \\ \Leftrightarrow y=-i\ln (xi(1\pm\sqrt{1-\frac{1}{x^2})) 
 \\ \Leftrightarrow y=-i\left[ \ln (x)+ \ln (i)+\ln(1\pm\sqrt{1-\frac{1}{x^2}})\right]

Sachant que i=e^{i\frac{\pi}{2}}

On a \forall x\in]1; +\infty[, \sin^{-1}(x) =-i\left[ \ln (x)+ \frac{\pi}{2} i+\ln(1\pm\sqrt{1-\frac{1}{x^2}})\right]+2n\pi
Avec n\in Z

J'aimerais donc savoir s'il y a une erreur de raisonnement ou même de calcul.
Aussi, peut-on aller plus loin ?
Est-ce juste également ?
En espérant que vous pourrez m'aider, merci.

Posté par
jsvdb
re : La fonction arcsinus 22-10-21 à 00:52

Bonjour Julien83340

Citation :

Je m'intéresse ici à la fonction arcsin.

y=arcsin(x)
 \\ \Leftrightarrow sin(y)=x


Alors là, on va rectifier ton équivalence qui est fausse par celle là plus rigoureuse :
La fonction arcsin officielle est définie par cette équivalence :

\begin{cases} y = \sin(x) \\x\in [-\pi/2;\pi/2] \end{cases}\Leftrightarrow \begin{cases} x = \arcsin(y) \\y\in [-1;1] \end{cases}

Je dis officielle, car on pourrait définir d'autres arcsin sur le même modèle. Mais c'est celle-là qui possède les meilleurs vertus.

Pour définir arcsin sur \C, on développe en série entière la fonction réelle et on passe sur \C par prolongement analytique.

Dans la suite de tes calculs, je vois que tu manipules le logarithme complexe qui est d'un usage extrêmement délicat.

Personnellement, je me serai arrêté à la ligne y=-i\ln (xi+\sqrt{1-x^2}) qui dit simplement \arcsin(x) = -i\ln (\sqrt{1-x^2}+ix), x\in [-1,1] : pourquoi aller plus loin ?

Posté par
Julien83340
re : La fonction arcsinus 22-10-21 à 01:22

D'abord, je vous remercie de cette réponse rapide.
Si je suis allé plus loin, c'est pour retirer le i du logarithme, mais en effet, les lignes précédentes nous donnent déjà une expression d'arcsinus.

J'avais également pensé à passer par les séries entières, seulement, je voulais avoir une expression finie, pas une somme sur les entiers naturels.



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