Bonjour Julien83340
Citation :
Je m'intéresse ici à la fonction arcsin.
![y=arcsin(x)
\\ \Leftrightarrow sin(y)=x](https://latex.ilemaths.net/ile_TEX.cgi?y=arcsin(x)
\\ \Leftrightarrow sin(y)=x)
Alors là, on va rectifier ton équivalence qui est fausse par celle là plus rigoureuse :
La fonction arcsin officielle est définie par cette équivalence :
Je dis officielle, car on pourrait définir d'autres arcsin sur le même modèle. Mais c'est celle-là qui possède les meilleurs vertus.
Pour définir arcsin sur
![\C](https://latex.ilemaths.net/ile_TEX.cgi?\C)
, on développe en série entière la fonction réelle et on passe sur
![\C](https://latex.ilemaths.net/ile_TEX.cgi?\C)
par prolongement analytique.
Dans la suite de tes calculs, je vois que tu manipules le logarithme complexe qui est d'un usage extrêmement délicat.
Personnellement, je me serai arrêté à la ligne
![y=-i\ln (xi+\sqrt{1-x^2})](https://latex.ilemaths.net/ile_TEX.cgi?y=-i\ln (xi+\sqrt{1-x^2}))
qui dit simplement
![\arcsin(x) = -i\ln (\sqrt{1-x^2}+ix), x\in [-1,1]](https://latex.ilemaths.net/ile_TEX.cgi?\arcsin(x) = -i\ln (\sqrt{1-x^2}+ix), x\in [-1,1])
: pourquoi aller plus loin ?