a^n + b^n = c^n

n>2 n est un nombre premier.

Ecrivez:

b^(n/2) = [ a^n - k^2 ]/(2k)
c^(n/2) = [ a^n + k^2 ]/(2k)

k = c^(n/2) - b^(n/2)

1. k rationnel

b = p^2 et c = q^2

=> a^n = q^(2n) - p^(2n) = [q^n - p^n][q^n + p^n]
=> a = racine(n) [q^n - p^n] . racine(n) [q^n + p^n]

=> b,c rationnels ; a irrationnel

2. k irrationnel

Pour les racines(n) rationnelles, nous avons besoin de ce qui suit:

[ a^n - k^2 ]/(2k) = p^n
[ a^n + k^2 ]/(2k) = q^n

=> p^n + q^n = a^n/k. Irrationnel.
=> un de p,q est une racine(n) irrationnelle.
=> un de b,c irrationnel. b = p^2 et c = q^2.
=> a rationnel, un de b,c irrationnel.

Que pensez vous ?