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La résolution de cos(x).cos(2x).cos(4x)=(1/8)

Posté par kamilia227 (invité) 20-10-07 à 22:00

Bonsoir à tous,
c'est kamilia,
je bloque sur un exercice si vous pouviez me donner des indications pour démarrer je vous en serez reconnaissante , voilà il faut résoudre l'équation suivante:
cos(x).cos(2x).cos(4x) = 1/8
Merci

Posté par kamilia227 (invité)co(x).cos(2x).cos(4x)=(1/8) 21-10-07 à 13:59

jai passé ma soirée dessus , svp une petite indication...
j'arrive pas à avancer ...

Posté par
cetiopre : La résolution de cos(x).cos(2x).cos(4x)=(1/8) 21-10-07 à 14:26

Salut,

Essaye de résoudre en utilisant Euler.Peut être que ca marchera.

Posté par kamilia227 (invité)re : La résolution de cos(x).cos(2x).cos(4x)=(1/8) 21-10-07 à 19:30

justement avec euler j'arrive pas à avancer ,
cos(x).cos(2x).cos(4x)=(1/8)
soit
(1/8)[(exp(ix)+exp(-ix))*(exp(i2x)+exp(-2ix))*(exp(i4x)+exp(-i4x))]=(1/8)
(exp(ix)+exp(-ix))*(exp(i2x)+exp(-2ix))*(exp(i4x)+exp(-i4x))=1
et arriver à là j'ai essayé de developer et de simplifier mais ça ne marche pas...

Posté par
perroquetre : La résolution de cos(x).cos(2x).cos(4x)=(1/8) 21-10-07 à 21:27

Bonjour, kamilia227.

J'ai trouvé les 7 solutions (modulo 2 pi) de ton exercice. Mais ma solution est assez compliquée.
Quel est ton niveau ?

Posté par
infophilere : La résolution de cos(x).cos(2x).cos(4x)=(1/8) 21-10-07 à 21:34

Bonsoir perroquet

Ta solution m'intéresse !

Posté par kamilia227 (invité)re : La résolution de cos(x).cos(2x).cos(4x)=(1/8) 21-10-07 à 21:38

je suis en premiere année de pcsi

Posté par
perroquetre : La résolution de cos(x).cos(2x).cos(4x)=(1/8) 21-10-07 à 22:12

Solution résumée.

\cos(2x)=2\cos^2x-1
\cos(4x)=8\cos^4x-8\cos^2x+1

L'équation devient:
16\cos^7x-24\cos^5x+10\cos^3x-\cos x=\frac{1}{8}
Equation de degré 7 en cos x.

Grâce à Maple, j'obtiens la factorisation suivante:
16x^7-24x^5+10x^3-x-\frac{1}{8}= \frac{(2x-1)(8x^3-6x+1)(8x^3+4x^2-4x+1)}{8}

Toujours grâce à Maple, j'obtiens que les solutions de cette équation semblent être:
\frac{1}{2}=\cos\frac{\pi}{3}, \cos\frac{2\pi}{7}, \cos\frac{6\pi}{7}, \cos\frac{4\pi}{7}, \cos\frac{\pi}{9}, \cos\frac{7\pi}{9}, \cos\frac{5\pi}{9}

Il reste à vérifier que ce sont effectivement les solutions.
C'est facile pour \cos\frac{\pi}{3}.

Pour les autres valeurs, on linéarise:
\cos x\cos(2x)\cos(4x)=\frac{\cos x+\cos(3x)+\cos(5x)+\cos(7x)}{4}
Pour x=\frac{2\pi}{7}, on obtient:
\cos x\cos(2x)\cos(4x)=\frac{\cos\frac{2\pi}{7}+ \cos\frac{6\pi}{7} \cos\frac{12\pi}{7} +1}{4} =\frac{1}{8}
(Ne pas oublier en effet que, avec z=\exp\frac{2i\pi}{7}\quad \quad 1+z+z^2+z^3+z^4+z^5+z^6=0 et en prenant la partie réelle ...)

C'est la même idée pour les 5 autres valeurs.

Pas très facile, tout ça ...

Posté par kamilia227 (invité)re : La résolution de cos(x).cos(2x).cos(4x)=(1/8) 21-10-07 à 22:17

wow impressionant je vais essayer de le faire
merci bcp

Posté par
perroquetre : La résolution de cos(x).cos(2x).cos(4x)=(1/8) 21-10-07 à 22:21

kamilia227 a écrit:

Citation :
je suis en premiere année de pcsi


Donc, il y a une solution plus simple que celle que j'ai donnée.
Au moins, tu connais les solutions qu'il faut trouver:
\frac{\pi}{3},\frac{2\pi}{7},\frac{4\pi}{7}, \frac{6\pi}{7}, \frac{\pi}{9}, \frac{5\pi}{9}, \frac{7\pi}{9}
(modulo 2 pi)

Posté par
perroquetre : La résolution de cos(x).cos(2x).cos(4x)=(1/8) 21-10-07 à 23:01

Il y avait en effet une solution beaucoup plus simple. On vérifie facilement que x=k pi n'est pas solution de l'équation. L'équation est donc équivalente à:

\sin x\cos x\cos(2x)\cos(4x)=\frac{\sin x}{8}
\frac{\sin(2x)}{2}\cos(2x)\cos(4x)=\frac{\sin x}{8}
\frac{\sin(4x)}{4}\cos(4x)=\frac{\sin x}{8}
\frac{\sin(8x)}{8}=\frac{\sin x}{8}
\sin(8x)=\sin(x)
Donc:
8x=x+2k\pi\quad ou \quad 8x=\pi-x+2k\pi
x=\frac{2k\pi}{7}\quad ou \quad x=\frac{\pi+2k\pi}{9}

Et, en plus, dans ma méthode très compliquée, j'avais oublié des solutions ...

Posté par
perroquetre : La résolution de cos(x).cos(2x).cos(4x)=(1/8) 22-10-07 à 06:00

Encore une rectification.

Il ne faut pas oublier d'enlever les solutions x=k pi des solutions précédentes. Il n'y a équivalence dans ma solution précédente que sous l'hypothèse:
x différent de k pi. (avec k dans Z)

Posté par
infophilere : La résolution de cos(x).cos(2x).cos(4x)=(1/8) 22-10-07 à 17:47

Bien vu


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