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La surjection canonique, image et image réciproque d'un idéal.
Bonsoir,
voila j'ai une petite question :
soit la surjection canonique la surjection canonique
il s'agit de déterminer et
j'arrive à montrer ceci :
il existe un tel que
signifie que
;
donc
On a donc .
A-t-on l'autre inclusion ?
si y est dans A/I, il existe un x dans A tel que s(x)=y car s surjective.
je vois pas comment l'utiliser ici car on considère un élément de I pour montrer qu'il est dans
Mais on dit n'importe quoi en fait : dans l'ensemble d'arrivée I n'est pas un ensemble mais un élément donc on ne peut pas avoir d'inclusion de ce genre. Bref, reprenons :
1) que vaut précisément s(I) ?
2) Autre chose : n'oublie pas que dans le quotient A/I, I=0.
Kaiser
Je ne comprend pas ou est la contradiction dans ce que l'on a fait !
1) s(I)=x+I pour x dans A
2) mais I c'est un ensemble non? c'est un idéal de A, non ??
Je ne comprend pas ou est la contradiction dans ce que l'on a fait !
écrire
1) s(I)=x+I pour x dans A
plus précisément, dans A/I, s(I)=0.
2) mais I c'est un ensemble non? c'est un idéal de A, non ??
I est ensemble, si on le considère comme un sous-ensemble de A, mais dans A/I , c'est un élément du quotient (plus précisément, c'est l'élément neutre pour l'addition).
Kaiser
moi non plus, je ne comprends rien : le I de la propriété à montrer est-ce le même que le I de A/I ?
Pour moi, si c'est le même, on a I=Ker(s).
Kaiser
dans ce cas, c'est relativement simple : I s'envoie sur 0, donc s(I)=0 et donc .
(d'ailleurs, tu auras remarqué qu'il ne faut pas oublier les accolades car s n'est pas forcément bijective.
Kaiser
Je referai la même remarque : x est un élément du quotient au même titre que I, donc x ne peut pas appartenir à I.
Sinon, c'est du même tonneau que ce que j'ai fait dans mon message précédent : pour cela, remarque que I=0 dans A/I.
Kaiser
P.S : en , pour faire des accolades, il faut mettre un / aussi.
Ainsi, au lieu d'écrire {I}, on écrit \{I\}.
Je ne comprend pas kaiser,
donc x et I sont deux éléments, mais I c'est pas un ensemble (un idéal) ??
(PS: Oui j'avais oublié le slash, enfin l'antislash)
mais I c'est pas un ensemble (un idéal) ??
pas dans A/I, mais tu es d'accord que c'est sous ensemble de I ?
Kaiser
lol, je me disais aussi!
oui I est un idéal de A c'est donc un sous groupe additif de A donc un sous ensemble de A non?
Donc A/I={a/i,a dans a,i dans I} c'est faux.
totalement faux.
Pour s'en convaincre, il faut revenir à la définition avec la relation d'équivalence etc ...
Kaiser
oui, mais encore une fois, ce n'est même pas la peine de faire la double inclusion : par définition de s, quels sont les éléments de A qui s'envoient sur I ?
Kaiser
c'est la où les accolades sont importantes :
il faut écrire s(I)={I}.
Dans A/I, I=0, donc ça revient à dire que s(I)={0}. ceci est évident car le noyau de S c'est I.
Kaiser
Ahhhhh!
ok ok je crois avoir bien compris.
Donc on a toujours et
si
on n'utilise pas l'argument de surjectivité ?
j'ai rien compris!!
s(I)={I}ou c'est s(I)={0}
pour moi s(I)={0} puisque c'est les éléments de I qui s'envoient sur A/I et dans cet anneau les éléments de I sont tels que s(i dans I)=0 non?
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