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Le nombre de chiffre constituant un nombre

Posté par
Zert 09-10-23 à 11:59

Bonjour à tous,

Je cherche à savoir combien de chiffres est constitué le nombre 2022^2022.

Avec la calculatrice, j'arrive à 6685 chiffres en tout, mais comment le faire à la main ?

Je vous souhaite une bonne journée,

zert

Posté par
Ulmierere : Le nombre de chiffre constituant un nombre 09-10-23 à 16:37

Entre 1 = 10^0 et 9 = 10^1-1, tous les nombres ont 1 chiffre.
Entre 10 = 10^1 et 99 = 10^2-1, tous les nombres ont 2 chiffres.
Entre 100 = 10^2 et 999 = 10^3-1, tous les nombres ont 3 chiffres.

...

Entre 10^{n-1} et 10^n-1, tous les nombres ont n chiffres.

Posté par
Zertre : Le nombre de chiffre constituant un nombre 09-10-23 à 16:56

Ah oui en prenant le logarithme ...

log(2022^2022) = 2022 * log(2022) environ = 6684.28

Le nombre est situé entre 10^6684 et 10^6685-1 ...


Merci !

Est-ce qu'on pourrait le trouver sans le log ?

Posté par
Ulmierere : Le nombre de chiffre constituant un nombre 10-10-23 à 12:29

Oui, tu es proche du but, mais pas encore tout à fait à la formule fermée que j'attendais.

Si b^{n-1} \leqslant x < b^n alors en prenant le log en base b, n-1 \leqslant \log_b(x) < (n-1) + 1.
Donc n-1 n'est pas n'importe quel entier, c'est précisément la ... de \log_b(x).

Je ne crois pas qu'il soit possible de calculer le nombre de chiffres de x (à la main) sans recourir au calcul du log ou diviser par 10 jusqu'à ce que ce ne soit plus possible (ce qui revient finalement au même, en raison de l'inégalité que j'ai écrite).

En disant que 10^3 \leqslant 2022 < 10^4, tu peux en déduire que 10^{6066} \leqslant 2022^{2022} < 10^{8088}, donc que le nombre de chiffres est supérieur ou égal à 6067 et inférieur ou égal à 8088, mais ça n'avance pas beaucoup.
Peut être que dans ce cas, une inégalité plus serrée donnerait une meilleure estimation de n ?

Sinon, à la physicienne, tu peux dire que 2022^{2022} = 2^{2022} \times 1022^{2022}.
1022 est "proche" de 1024 = 2^{10} donc le résultat est "proche" de 2^{2022 + 20220} = 2^{22242}
et 2^{22242} = 2^{2224\times 10 + 2} = 4 \times \left(2^{10}\right)^{2224} \simeq 4 \times 10^{6672}

Donc le résultat sera "de l'ordre de"  10^{6672} ce qu ifait une estimation de 6672 chiffres, proche à 7 chiffres près de la réalité quand même .
Peut être qu'en utilisant une paire (2^p, 10^q) d'entiers plus proches que 2^{10} de 10^3 on trouverait une estimation assez précise pour en déduire le nombre exact de chiffres sans passer par le log ?

Posté par
Ulmierere : Le nombre de chiffre constituant un nombre 10-10-23 à 12:36

Erreurs à la fin : 6673 chiffres, proche à 12 chiffres près, ce qui fait une erreur relative de 0.18%


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