Inscription / Connexion Nouveau Sujet
Niveau seconde
Partager :

Le rectangle d'or

Posté par
LILOU1000
16-03-16 à 17:10

Bonjour à tous, j'ai beaucoup de difficultés pour faire cet exercice, pourriez vous m'aider svp ?
A. Aspect géométrique: tracé d'un rectangle d'or.

     1) Figure:
Tracer un carré ABCD de côté 1 unité (pour plus de lisibilité, on prendra comme unité 10cm). AB vaut donc 1. Soit I le milieu du segment [AB]. Le cercle de centre I et de rayon IC coupe la demi-droite [AB) en E. Soit le point F tel que ADFE soit un rectangle.

     2) Etude d'un rapport particulier
a) Calculer IC(donc IE), l'exprimer sous la forme a/b, où a et b sont des entiers naturels non nuls. En déduire AE.
b) Donner la valeur exacte du quotient AE/AD puis une écriture décimale arrondie à 10-7.
c) Un rectangle d'or de longueur L et de largeur l est un rectangle dont les dimensions vérifient L/l= L+l/L. Le nombre d'or est égal au rapport L/l.
Si on note respectivement L et l la longueur et la largeur du rectangle ADFE, montrer que l'on a  L/l= L+l/L.
En déduire que le rectangle ADFE est un rectangle d'or.

B) Détermination algébrique du nombre d'or.

On note x=L/l où L et l désignent respectivement la longueur et la largeur d'un rectangle d'or.
a) Montrer que x est un réel positif vérifiant x= 1+(1/x)
b) Montrer que l'équation x=1+ (1/x) peut s'écrire x2-x-1=0.
c) Vérifier que x2-x-1= (x-(1/2))2-5/4
d) Résoudre l'équation  x2-x-1=0 en utilisant le résultat précédent.
e) En déduire la valeur exacte du nombre d'or.

Merci d'avance !

Posté par
fm_31
re : Le rectangle d'or 16-03-16 à 17:14

Bonjour ,

où as-tu des difficultés ? Qu'as-tu fait ?
Pour le tracé (schéma) , j'utilise GeoGebra .

Cordialement

Posté par
LILOU1000
re : Le rectangle d'or 16-03-16 à 17:47

Pour le tracé je l'ai fait sur une feuille.
Pour la première question j'ai utilisé le théorème de Pythagore dans le triangle IBC rectangle en B et je trouve 5 / 2;
Est ce que c'est correct ?

Posté par
gwendolin
re : Le rectangle d'or 16-03-16 à 17:48

bonjour,

oui, c'est cela

Posté par
LILOU1000
re : Le rectangle d'or 16-03-16 à 17:53

D'accord merci, pour AE je trouve (1+ 5) / 2.
C'est correct ça aussi ?

Posté par
gwendolin
re : Le rectangle d'or 16-03-16 à 18:09

ok

Posté par
LILOU1000
re : Le rectangle d'or 16-03-16 à 18:15

Oui ?
Par contre je bloque pour la suite...

Posté par
gwendolin
re : Le rectangle d'or 16-03-16 à 18:23

Citation :
L/l= L+l/L.

L/l=L+(l/L) ou L/l=(L+l)/L ?

Posté par
LILOU1000
re : Le rectangle d'or 16-03-16 à 21:03

Pour la question  c) je trouve 25/45
par contre pour la b) je ne trouve pas

Posté par
LILOU1000
re : Le rectangle d'or 17-03-16 à 21:07

Est-ce que quelqu'un pourrait m'aider svp ???

Posté par
fm_31
re : Le rectangle d'or 17-03-16 à 21:31

B-b)  Montrer que l'équation   x = 1 +  (1/x)   peut s'écrire   x²-x-1 = 0

En multipliant par  x  les deux membres de   x = 1 +  (1/x)  , on obtient  x² = x + 1   donc  ...

B-c)  Vérifier que   x²-x-1= (x-(1/2))²-5/4
Développons  le 2° membre   (x-(1/2))² - 5/4 = x² - x + 1/4 - 5/4 = x² - x - 4/4 = x² - x - 1

Posté par
LILOU1000
re : Le rectangle d'or 17-03-16 à 21:45

D'accord merci mais je ne comprend pas très bien, serait-il possible de reprendre dès le début c'est à dire partie A, question a)
J'ai trouvé  AE= (1+5) / 2.
IC= 5/2
Est-ce correct ? Si oui, peux tu m'aider pour la suite stp

Posté par
fm_31
re : Le rectangle d'or 17-03-16 à 22:01

AE = (1+5) / 2   est correct comme te l'a déjà dit gwendolin   ainsi que   IC = (5) /2

b) Donner la valeur exacte du quotient AE/AD  . Utilise la calculatrice .

Montrer que l'on a  L/l= L+l/L  . Fais le calcul avec ce que tu as trouvé (l = 1  et  L = ...)

Posté par
LILOU1000
re : Le rectangle d'or 17-03-16 à 22:16

Oui d'accord merci,
pour le b) je trouve pour le quotient  (1+5) / 2
Est-ce normal car il me demande ensuite d'arrondir à 10[sup][/sup]-7

Posté par
fm_31
re : Le rectangle d'or 18-03-16 à 06:41

C'est parce qu'il faut faire le calcul avec la calculatrice pour avoir la valeur de 5  avec la précision demandée .

Posté par
LILOU1000
re : Le rectangle d'or 19-03-16 à 16:44

Je trouve environ 1,62 du coup ca fait combien avec 10-7???

Posté par
LILOU1000
re : Le rectangle d'or 19-03-16 à 16:45

C'est normal que le quotient soit égal à AE ?

Posté par
fm_31
re : Le rectangle d'or 19-03-16 à 17:14

Citation :
ca fait combien avec 10-7???
  Il te faut mettre  7 décimales .
Citation :
C'est normal que le quotient soit égal à AE ?
bien sûr

Posté par
LILOU1000
re : Le rectangle d'or 19-03-16 à 17:57

Donc ça fait 0,0000162 ????
D'accord merci ! Du coup pour la c) pour calculer le rapport tu me conseilles d'utiliser plutôt AE= (1+5)/2 ou alors AE= 1,62 ou encore 0,0000162

Posté par
fm_31
re : Le rectangle d'or 19-03-16 à 18:55

Non . (1 + 5) / 2 = 1,6180340
Là , il y a 7 décimales , la 7° étant arrondie .
Avec 10 décimales (par exemple) , on a  1,6180339895   et une précision de  10-10

Posté par
LILOU1000
re : Le rectangle d'or 20-03-16 à 13:43

D'accord merci de m'avoir expliqué
Du coup j'utilise la valeur arrondie ou la valeur précise pour calculer le rapport de la question 2)c) ??
Pourrais-tu m'expliquer aussi la question 3)a) car je suis totalement perdu ...

Posté par
fm_31
re : Le rectangle d'or 20-03-16 à 15:07

Il faut faire les démonstrations (2-c par exemple) avec les valeurs réelles . On ne calcule les valeurs approchées qu'en final si demandé .

Il n'y a pas de question 3-a dans l'énoncé .
B-a) En partant de  L/l= L+l/L  , il suffit de remplacer  L/l  par  x  comme indiqué dans l'énoncé .

Posté par
LILOU1000
re : Le rectangle d'or 20-03-16 à 15:49

D'accord je vais utiliser la valeur exacte alors,  je trouve 85/45... C'est faux ?
Pour la B)a) je trouve x= 1+(2/1+5)Est-ce correct ?

Posté par
fm_31
re : Le rectangle d'or 20-03-16 à 21:03

Citation :
alors,  je trouve 85/45...
  A quelle question ? et ce que tu trouves est égal à 2
B-a)  C'est pas faux mais il faut simplifier . De plus je me demande comment tu as fait pour arriver à ce résultat .

Posté par
LILOU1000
re : Le rectangle d'or 21-03-16 à 21:51

J'ai réussi la première partie.
Je bloque pour la B) a) car je suis arrivé à ( x+1)/1
mais je ne sais pas comment poursuivre

Posté par
fm_31
re : Le rectangle d'or 21-03-16 à 22:01

Citation :
je suis arrivé à ( x+1)/1
C'est égal à x+1. Comment as-tu fait pour arriver à ce résultat (erroné)



Vous devez être membre accéder à ce service...

Pas encore inscrit ?

1 compte par personne, multi-compte interdit !

Ou identifiez-vous :


Rester sur la page

Inscription gratuite

Fiches en rapport

parmi 1683 fiches de maths

Désolé, votre version d'Internet Explorer est plus que périmée ! Merci de le mettre à jour ou de télécharger Firefox ou Google Chrome pour utiliser le site. Votre ordinateur vous remerciera !