Inscription / Connexion Nouveau Sujet
Le rectangle d'or
Bonjour à tous, j'ai beaucoup de difficultés pour faire cet exercice, pourriez vous m'aider svp ?
A. Aspect géométrique: tracé d'un rectangle d'or.
1) Figure:
Tracer un carré ABCD de côté 1 unité (pour plus de lisibilité, on prendra comme unité 10cm). AB vaut donc 1. Soit I le milieu du segment [AB]. Le cercle de centre I et de rayon IC coupe la demi-droite [AB) en E. Soit le point F tel que ADFE soit un rectangle.
2) Etude d'un rapport particulier
a) Calculer IC(donc IE), l'exprimer sous la forme 
a/b, où a et b sont des entiers naturels non nuls. En déduire AE.
b) Donner la valeur exacte du quotient AE/AD puis une écriture décimale arrondie à 10-7.
c) Un rectangle d'or de longueur L et de largeur l est un rectangle dont les dimensions vérifient L/l= L+l/L. Le nombre d'or est égal au rapport L/l.
Si on note respectivement L et l la longueur et la largeur du rectangle ADFE, montrer que l'on a L/l= L+l/L.
En déduire que le rectangle ADFE est un rectangle d'or.
B) Détermination algébrique du nombre d'or.
On note x=L/l où L et l désignent respectivement la longueur et la largeur d'un rectangle d'or.
a) Montrer que x est un réel positif vérifiant x= 1+(1/x)
b) Montrer que l'équation x=1+ (1/x) peut s'écrire x2-x-1=0.
c) Vérifier que x2-x-1= (x-(1/2))2-5/4
d) Résoudre l'équation x2-x-1=0 en utilisant le résultat précédent.
e) En déduire la valeur exacte du nombre d'or.
Merci d'avance !
Bonjour ,
où as-tu des difficultés ? Qu'as-tu fait ?
Pour le tracé (schéma) , j'utilise GeoGebra .
Cordialement
Pour le tracé je l'ai fait sur une feuille.
Pour la première question j'ai utilisé le théorème de Pythagore dans le triangle IBC rectangle en B et je trouve 5 / 2;
Est ce que c'est correct ?
B-b) Montrer que l'équation x = 1 + (1/x) peut s'écrire x²-x-1 = 0
En multipliant par x les deux membres de x = 1 + (1/x) , on obtient x² = x + 1 donc ...
B-c) Vérifier que x²-x-1= (x-(1/2))²-5/4
Développons le 2° membre (x-(1/2))² - 5/4 = x² - x + 1/4 - 5/4 = x² - x - 4/4 = x² - x - 1
D'accord merci mais je ne comprend pas très bien, serait-il possible de reprendre dès le début c'est à dire partie A, question a)
J'ai trouvé AE= (1+5) / 2.
IC= 5/2
Est-ce correct ? Si oui, peux tu m'aider pour la suite stp
AE = (1+5) / 2 est correct comme te l'a déjà dit gwendolin ainsi que IC = (5) /2
b) Donner la valeur exacte du quotient AE/AD . Utilise la calculatrice .
Montrer que l'on a L/l= L+l/L . Fais le calcul avec ce que tu as trouvé (l = 1 et L = ...)
Oui d'accord merci,
pour le b) je trouve pour le quotient (1+5) / 2
Est-ce normal car il me demande ensuite d'arrondir à 10[sup][/sup]-7
C'est parce qu'il faut faire le calcul avec la calculatrice pour avoir la valeur de 5 avec la précision demandée .
ca fait combien avec 10-7???
C'est normal que le quotient soit égal à AE ?
Donc ça fait 0,0000162 ????
D'accord merci ! Du coup pour la c) pour calculer le rapport tu me conseilles d'utiliser plutôt AE= (1+5)/2 ou alors AE= 1,62 ou encore 0,0000162
Non . (1 + 5) / 2 = 1,6180340
Là , il y a 7 décimales , la 7° étant arrondie .
Avec 10 décimales (par exemple) , on a 1,6180339895 et une précision de 10-10
D'accord merci de m'avoir expliqué 
Du coup j'utilise la valeur arrondie ou la valeur précise pour calculer le rapport de la question 2)c) ??
Pourrais-tu m'expliquer aussi la question 3)a) car je suis totalement perdu ...
Il faut faire les démonstrations (2-c par exemple) avec les valeurs réelles . On ne calcule les valeurs approchées qu'en final si demandé .
Il n'y a pas de question 3-a dans l'énoncé .
B-a) En partant de L/l= L+l/L , il suffit de remplacer L/l par x comme indiqué dans l'énoncé .
D'accord je vais utiliser la valeur exacte alors, je trouve 85/45... C'est faux ?
Pour la B)a) je trouve x= 1+(2/1+5)Est-ce correct ?
alors, je trouve 8
5/45... B-a) C'est pas faux mais il faut simplifier . De plus je me demande comment tu as fait pour arriver à ce résultat .
J'ai réussi la première partie.
Je bloque pour la B) a) car je suis arrivé à ( x+1)/1
mais je ne sais pas comment poursuivre
Annuler
connectez vous