Niveau Reprise d'études

Le théorème de la imite de la dérivée

Posté par
Milka3 30-06-21 à 09:51

Bonjour,

dans un exercice, je devais montrer que la fonction f définie par $e^{\frac{-1}{x}}$ si $x\ge 0$ et $0$ sinon est de classe $C^1$ .

Sur les intervalles $]-\infty,0[$ et $]0,+\infty[$ , je montre que f est dérivable avec, respectivement, $f'(x)=0$ et $f'(x)=\frac{1}{x^2}e^{\frac{-1}{x}}$ .

En 0, j'utilise le théorème de la limite de la dérivée. f est continue et dérivable sur $\mathbb{R}\setminus\{0\}$ avec :

$\lim_{x> 0} f'(x)=0$ (croissances comparées)

et

$\lim_{x< 0} f'(x)=0$ (direct).

Donc f est dérivable en 0.

Ma question est de savoir pourquoi le théorème permet aussi de conclure que la dérivée est continue en 0. Je ne le comprends pas ?
Pouvez-vous m'aidez ?
D'avance merci.

Posté par re : Le théorème de la imite de la dérivée 30-06-21 à 10:10

Bonjour,

Tu viens d'obtenir la dérivée en 0 par prolongement par continuité de la dérivée en dehors de 0 !

Posté par re : Le théorème de la imite de la dérivée 30-06-21 à 10:32

Bonjour GBZM,
je n'ai pas compris. Le théorème permet toujours de conclure que la fonction est dérivable par prolongement par continuité ??

Posté par re : Le théorème de la imite de la dérivée 30-06-21 à 11:36

Soyons précis.
Tu as une fonction continue $f$ sur $\R$ qui est continûment dérivable sur $\R^*$ . Tu sais que la dérivée $f'(x)$ a une limite $\ell$ quand $x$ tend vers 0 en étant différent de 0.

Alors tu commences par démontrer que $f$ est dérivable en 0 et que sa dérivée en 0 est $\ell$ . Sais-tu le faire ?

Une fois que c'est fait, il est immédiat que $f$ est continûment dérivable sur $\R$ tout entier puisque sa dérivée sur $\R$ s'obtient en prolongeant par continuité en 0 la dérivée de $f$ sur $\R^*$ . D'accord ?

Posté par re : Le théorème de la imite de la dérivée 30-06-21 à 14:46

Re bonjour,
oui, j'ai prouvé que f est dérivable en 0 dans mon message initial en usant du théorème de la limite de la dérivée :

f est continue sur $\mathbb{R}\setminus\{0\}$
f est dérivable sur $\mathbb{R}\setminus\{0\}$
$\lim_{x\to 0\,,x\neq 0} f(x)=0$

Donc f est dérivable en 0.

Si je comprends bien, par la suite, il faut prolonger f' par continuité :

$f'(x)=\frac{1}{x^2}e^{\frac{-1}{x}}$ , si $x\neq 0$
$f'(x)=0$ , si $x=0$

Est-ce bien cela ?

Posté par re : Le théorème de la imite de la dérivée 30-06-21 à 15:07

Ce que je te demandais, c'est la démonstration du théorème que tu cites. D'ailleurs tu le cites de façon incomplète, puisque ce théorème dit que la dérivée en 0 est la limite de la dérivée en x pour x tendant vers 0.

Et pour ce qui suit (la continuité de la dérivée en 0), c'est une conséquence immédiate de ce théorème qui dit que la dérivée de f sur R s'obtient en prolongeant par continuité la dérivée de f sur R*.

Posté par re : Le théorème de la imite de la dérivée 01-07-21 à 10:07

Bonjour GBZM,
voici l'énoncé du th. que j'ai :

Si $f : I \to\mathbb{R}$ est continue et dérivable sur $I\setminus\{a\}$
et si $lim_{x\to a} f'(x)=l\in\mathbb{R}\cup\{\infty\}$
alors $\frac{f(x)-f(a)}{x-a}\to_{x\to a} l$

En particulier, $f$ est dérivable si $l<\infty$ .

Je n'ai pas fait la démonstration du théorème !
Est-ce que la continuité provient du fait que, comme f est dérivable, alors elle y est continue ?

Posté par re : Le théorème de la imite de la dérivée 01-07-21 à 10:51

Bonjour,

C'est vraiment ton énoncé ? Il est fautif. Il devrait dire "continue sur $I$ et dérivable sur $I\setminus \{a\}$ " comme hypothèse.
Il y a d'autres petits points pas très nets, mais bon.

Si $f$ n'est pas continue en $a$ , elle n'a aucune chance d'y être dérivable !

Mais ici ce qu'on discute est la continuité de $f'$ . Dans ton exercice, tu sais déjà que $f'$ est continue sur $\R^*$ . Tu montres que $\lim_{x\to 0,\ x\neq0} f'(x)=0$ et tu en déduis que $f'$ est dérivable en 0 et que $f'(0)=0$ . C'est contenu dans ton théorème : en effet, par définition, $f'(0)= \lim_{x\to 0,\ x\neq 0} \dfrac{f(x)-f(0)}{x-0}$ .
Donc $f'$ sur $\R$ est le prolongement par continuité de $f'$ sur $\R^*$ (tu sais bien ce que ça veut dire, prolongement par continuité ?). Le prolongement d'une fonction par continuité en un point $a$ , s'il existe, est automatiquement continu en $a$ .

Je n'arrive pas à cerner ce qui te bloque dans la compréhension.

Pour la démonstration de ton théorème, la clé est le théorème des accroissements finis.