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Les 5 travaux des nombres premiers (2)
Bonjour à tous 
Voici le scoop du siècle : l'ensemble des nombres premiers n'est pas fini.
Je me propose de vous faire découvrir 5 démonstrations (choisies parmi bien d'autres) de ce résultat. J'espère que vous apprécierez.
Elle reposent toutes sur ce principe : les entiers naturels croissent au delà de toute borne et tout entier naturel admet un diviseur premier . Ces deux faits contraignent
à être infini.
Bien entendu, tout le monde connaît la démonstration d'Euclide qui dit qu'étant donnés les n premiers nombres premiers, on peut en construire un autre en les multipliant tous et en ajoutant 1.
Votre seconde mission, si vous l'acceptez, est de redémontrer l'infinité de par l'absurde, en considérant le nombre de Mersenne
où p = max
.
N'oubliez pas de planquer vos réponses.
Je proposerai un solution dans une semaine.
Bonjour,
Voici une méthode qui utiise les nombres de Mersenne... en espérant qu'elle est juste !
je ne sais pas si elle correspond à celle attendue...
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Bonsoir à tous.
Voici comme promis une rédaction possible de cette mission.
Comme avec matheuxmatou on a pratiquement tout dit, je vais réunir les idées de réponse, mais en version déblankée.
Rappel : pour tout entier premier , on note
le corps
et on note
On va simplement montrer que si est un nombre premier qui divise
(rappel d'hypothèse :
) alors
. Ce qui sera un parfaite absurdité.
Soit donc un nombre premier qui divise
. A priori, par hypothèse
.
Nous avons donc .
Comme est premier, cela signifie que l'élément
est d'ordre
dans le groupe multiplicatif
. Mais ce groupe a
éléments.
Grâce au théorème de Lagrange, on sait que l'ordre de tout élément divise l'ordre du groupe.
De fait, et par conséquent
_________________
N.B : Il semble qu'ici on n'utilise pas de façon fondamentale le fait que soit un ensemble fini pour aboutir à une véritable réduction à l'absurde.
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