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Il me semble que c'est fondé sur les suites arithmétiques... j'espère que ma mémoire ne me trahit pas car tout cela est très loin !

Notons

et

est une base d'ouverts puisque (rapidement)



et si on prend une intersection non vide de deux suites arithmétiques et avec un élément commun, on a :

avec

donc est un espace topologique engendré par la base

On remarquera qu'un ouvert non vide contient automatiquement une infinité d'éléments. Et que donc le complémentaire d'un ensemble fini ne peut pas être fermé (*1)

On remarquera aussi que pour un nombre p premier , le complémentaire de A(0,p) est qui est un

ouvert comme réunion finie d'ouverts. Et donc A(0,p) est aussi un fermé (*2).

Dernière remarque : 1 et -1 sont les seuls entiers qui ne sont pas multiples d'un nombre premier.

Si P est l'ensemble des nombres premiers, on a donc et ce n'est pas un fermé

d'après (*1)

Si P était fini, on aurait une réunion finie de fermés (d'après *2) et ce serait un fermé, d'où contradiction

et donc P est infini...

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Bien joué