Niveau énigmes

Les 5 travaux des nombres premiers (3)

Posté par
jsvdb 19-02-18 à 10:16

Bonjour à tous

Voici le scoop du siècle : l'ensemble $\mathbb P$ des nombres premiers n'est pas fini.
Je me propose de vous faire découvrir 5 démonstrations (choisies parmi bien d'autres) de ce résultat. J'espère que vous apprécierez.
Elle reposent toutes sur ce principe : les entiers naturels croissent au delà de toute borne et tout entier naturel $n \geq 2$ admet un diviseur premier . Ces deux faits contraignent $\mathbb P$ à être infini.
Bien entendu, tout le monde connaît la démonstration d'Euclide qui dit qu'étant donnés les n premiers nombres premiers, on peut en construire un autre en les multipliant tous et en ajoutant 1.

Votre troisième mission, si vous l'acceptez, est de redémontrer l'infinité de $\mathbb P$ , en considérant l'ensemble $\pi(x) = \{p\leq x~/ p \in \mathbb P \}$ où $x \in \R_+$ ainsi que la fonction $\ln(x) = \int_{1}^{x}{\frac{1}{t}dt}$

N'oubliez pas de planquer vos réponses.
Je proposerai un solution dans une semaine.

Posté par re : Les 5 travaux des nombres premiers (3) 19-02-18 à 10:43

Les 5 travaux des nombres premiers (1)
Les 5 travaux des nombres premiers (2)
Les 5 travaux des nombres premiers (4)
Les 5 travaux des nombres premiers (5)

Posté par re : Les 5 travaux des nombres premiers (3) 21-02-18 à 01:57

Bonsoir

je me rappelle une démonstration vue en terminale :

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Posté par re : Les 5 travaux des nombres premiers (3) 21-02-18 à 01:57

OUPS ! je n'avais pas vu qu'il y'avait des thèmes particuliers pour les démonstrations
tant pis

Posté par re : Les 5 travaux des nombres premiers (3) 28-02-18 à 16:09

Bonjour,

jsvdb

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Posté par re : Les 5 travaux des nombres premiers (3) 01-03-18 à 01:01

Bonsoir.
Je m'aperçois seulement maintenant qu'il y a une grosse erreur d'énoncé, donc forcément, vous ne pouvez pas résoudre le problème. Je rectifie donc :

Redémontrer l'infinité de $\mathbb P$ , en considérant l'ensemble $\pi(x) = \sharp \{p\leq x~/ p \in \mathbb P \}$ , le cardinal de l'ensemble des nombres premiers inférieurs ou égaux au réel $x \in \R_+$ ainsi que la fonction $\ln(x) = \int_{1}^{x}{\frac{1}{t}dt}$

On range d'abord les nombres premiers dans l'ordre croissant $\mathbb P = \{p_1=2,p_2=3,p_3=5,\cdots,p_n,\cdots\}$ .
Pour tout entier $n$ non nul, on pose $\mathbb P_n = \{p_1,\cdots,p_n\}$ i.e. l'ensemble des $n$ premiers nombres premiers.
Soit $x \in ]1;+\infty[$ . Prendre $x$ ailleurs n'a aucun intérêt. On note $[x]$ la partie entière de $x$ .
On a donc $\pi(x) = \pi([x])$ et on pourrait se contenter dans la suite de ne prendre pour x que des valeurs entières non nulles.

Comparons l'aire sous la courbe de la fonction $t\in [1;+\infty[ \mapsto \ln(t) = \int_{1}^{t}{\frac{d\xi}{\xi}}$ avec la fonction en escalier qui se trouve au dessus, constante sur tout intervalle $[i;i+1]_{i\in \N^*}$ et valant $i$ sur $[i;i+1]$ .

$\text{Il vient : } \begin {aligned}\ln(x) & \leq \sum_{k=1}^{[x]}{\frac{1}{k}} \\ & \leq \sum_{k\in \N^{\pi(x)}}^{}{\dfrac{1}{\prod_{i=1}^{\pi(x)}{p_i^{k_i}}}} = \prod_{p\in \mathbb P_{\pi(x)}}^{}\left({\sum_{k\geq 0}^{}{\frac{1}{p^k}}\right)}~(*)\end {aligned}$

A ce niveau, un petit exemple concret s'impose : prenons $\blue x = 7,5.~\pi(7,5) = \sharp \{2;3;5;7\}=4$

On a clairement $\blue \ln(7,5) \leq 1 + \frac{1}{2} +\frac{1}{3} +\frac{1}{4} +\frac{1}{5} +\frac{1}{6} +\frac{1}{7}$

Et cette dernière somme est elle même inférieure à $\blue \sum_{}^{}{\frac{1}{m}}$ où la somme s'étend à tous les $\blue m$ qui n'ont que des diviseurs premiers dans $\blue \mathbb P_4$ .

C'est-à-dire que la somme va être prise sur les $\blue m$ s'écrivant $\blue m=2^{k_1}3^{k_2}5^{k_3}7^{k_4}=\prod_{i=1}^{4}{p_i^{k_i}}, k_i \in \N$

Et donc, pour de tels $\blue m$ , la somme en question peut s'écrire $\blue \sum_{}^{}{\frac{1}{m}}=\sum_{k\in \N^4}^{}{\dfrac{1}{\prod_{i=1}^{4}{p_i^{k_i}}}}$

Ensuite, il n'est pas compliqué de voir que : (et le résultat général se montre par récurrence)

$\blue \sum_{k\in \N^4}^{}{\dfrac{1}{\prod_{i=1}^{4}{p_i^{k_i}}}} =\left(\sum_{k\geq 0}^{}{\frac{1}{2^k}} \right)\left(\sum_{k\geq 0}^{}{\frac{1}{3^k}} \right)\left(\sum_{k\geq 0}^{}{\frac{1}{5^k}} \right)\left(\sum_{k\geq 0}^{}{\frac{1}{7^k}} \right)=\prod_{p\in \mathbb P_4}^{}\left({\sum_{k\geq 0}^{}{\frac{1}{p^k}}\right)$

Reprenons donc à partir de $(*)$ .
La somme qui se trouve à l'intérieur est une série géométrique de raison $\frac{1}{p}$ , et par conséquent :

$\ln(x) \leq \prod_{p\in \mathbb P_{\pi(x)}}^{}\dfrac{1}{1-\frac{1}{p}}=\prod_{p\in \mathbb P_{\pi(x)}}^{}\dfrac{p}{p-1}=\prod_{k=1}^{\pi(x)}\dfrac{p_k}{p_k-1}$ .

Or il est clair que $p_k \geq k+1$ donc : $\dfrac{p_k}{p_k-1}=1+\dfrac{1}{p_k+1}\leq 1+\dfrac{1}{k}=\dfrac{k+1}{k}$ et par suite :

$\blue \boxed {\ln(x) \leq \prod_{k=1}^{\pi(x)}\dfrac{k+1}{k}=\pi(x) +1}$ .

Et tout le monde sait que la fonction $\blue \ln$ n'est pas bornée, donc la fonction $\blue \pi$ non plus.

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Posté par re : Les 5 travaux des nombres premiers (3) 03-03-18 à 00:05

pas mal ... je n'aurais pas trouvé ! j'étais un peu parti dans cette voie mais je bloquais ! c'est loin tout ça !

merci jsvdb pour ces petits problèmes, ça décrasse !

Posté par re : Les 5 travaux des nombres premiers (3) 03-03-18 à 12:01

C'est clair que cette solution est sympa. J'ai, comme toi (et comme d'autre, j'imagine), commencé à chercher. J'ai bien compris qu'il fallait utiliser les aires sous la courbe, mais j'ai pas réussi à aller plus loin.

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