Bonjour !!
j'ai un devoir maison à rendre pour vendredi prochain qui me pose pas mal de problème... Notamment la question 1 a et b...
Pourriez vous m'aider s'il vous plait  ?


Les abeilles

Les règles de reproduction chez les abeilles sont telles que l'abeille femelle a un père et une mère tandis que l'abeille male n'a qu'une mere.
Soit Un le nombre d'ancetres d'une abeille male à la génération n, ainsi : U1=1 , U2=2 , U3=3.
Soit Fn le nombre d'ancetres femelles et Mn le nombre d'ancetres Males à la génération n de cette abeille mâle.
Alors Un= Fn + Mn

1. a)Montrer que Un= F(n+1) et que M (n+1) = Fn
  
   b)En déduire U(n+1) = Un + Fn = Un + Un-1               (Une question qui m'a posé vraiment pb! dois je faire une récurrence? Je ne sais pas!)

Une suite telle que (Un) est dite suite de Fibonacci

2. On considere la suite de Fibonacci telle que:
U(0) = U(1) = 1 et U(n+2) = U (n+1) + Un pour tout n de  N
  
  a) Montrer que, pour tout n de N, Un est supérieur ou égale à n. En déduire la limite de la suite (Un)

  b) Etablir par récurrence que, quel que soit le naturel n, (Un)^2 = U(n-1) * U(n+1) + (-1)^n.

3. On pose Vn = U(n+1) / Un

  a) Montrer que V(n+1) - Vn = (-1)^n / ( Un * U(n+1) ); en déduire la limite de V(n+1) - Vn lorsque n tend vers +infini

  b) On pose Wn = V(2n-1) et Tn = V(2n)
Etudier le sens de variation de chacune des suites (Wn) et (Tn)

  c) Montrer que les suites (Wn) et (Tn) sont adjacentes. En déduire que la suite (Vn) converge vers une limite L.
(...Je pense pouvoir y arriver aprés les resultats que j'aurai parce que c'est une propriété du cours! Mais comme je ne trouve pas les réponses des questions précedentes, je patauge!)

  d) Montrer que lim lorsque n tend vers +infini de [(Vn)^2 - Vn -1] = 0.

  e) En utilisant la continuité de la fonction x: x^2 - x - 1,
montrer que L2 -L - 1 = 0
En déduire que (Vn) converge vers le nombre d'or.