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Les atomes (version maths!)
Soit un espace mesuré.
Un élément est un u-atome ssi :
1/
2/ (A-B c'est A\B)
Déterminer les u-atomes pour :
muni de la mesure de Dirac en 0
muni de la mesure de dénombrement
Soit ,
si alors
si , alors
dans tous les cas,
Soit ,
si :
soit alors
et
soit alors
ça me parait bien simple!
re H_aldnoer
dans tous les cas,
Déjà, je suppose que a=0 (vu que c'est la mesure de Dirac en 0).
Sinon,je ne comprends pas : on n'a pas toujours ça. Il faut quand même que a appartienne à A pour que la mesure de A soit non nulle, non ?
Kaiser
Bref, un atome doit nécessairement contenir 0.
Car s'il ne contient pas 0, la mesure de Dirac vaut justement 0 et on veut que cela soit strictement plus positif ?
si B est inclus dans A,
signifie que 0 n'est pas dans B (donc n'est pas dans A ?)
signifie que 0 n'est pas dans A-B, 0 est donc dans B (et est donc dans A ?)
signifie que 0 n'est pas dans B (donc n'est pas dans A ?)
non. s'il n'est pas dans B, il peut très bien être dans le complémentaire.
Kaiser
oui, car tous les éléments qui contiennent A ne sont pas nécessairement des atomes.
finalement, je crois bien que si.
Kaiser
Mais
non.
Contre-exemple :
B={1} et A={0,1}
B est inclus dans A, 0 n'est pas dans B mais pourtant est bien dans A.
Kaiser
Bon, ben suffit de le montrer maintenant.
Pourquoi un élément A qui contient 0 vérifie automatiquement 2/ ?
Kaiser
bon maître kaiser, on a :
doit impliquer
ou
on regarde alors signifie que 0 n'est pas dans B
ou
signifie que 0 n'est pas dans A\B
ça je comprend!
en fait, si on réfléchit, ceci est toujours vrai que 0 soit dans A ou pas.
En effet, 0 ne peut pas appartenir à un ensemble et à son complémentaire en même temps.
Kaiser
mais d'après 1/, 0 doit être dans B non ?
dans A plutôt.
En fait, pour conclure :
1/ est vérifié si et seulement si 0 appartient à A
2/ est vérifié tout le temps.
donc les atomes sont exactement les ensembles contenant 0.
Maintenant, à toi de jouer pour le deuxième exemple, avec la mesure de dénombrement.
Kaiser
(j'ai jamais travaillé avec cette mesure)
soit ,
si A est infini
si A est fini
j'imagine qu'il s'agit de montrer que A est forcément fini!
le fait qu'il s'agit d'une tribu à son importance ?
j'imagine qu'il s'agit de montrer que A est forcément fini!
oui. mais bien sûr, ça ne vas suffir (tous les ensembles finis ne sont pas des atomes).
le fait qu'il s'agit d'une tribu à son importance ?
oui et non
oui car une mesure est toujours définie sur une tribu.
non car on n'en parle pas vraiment ici.
Kaiser
Par exemple si on prend le vide, c'est fini, mais le cardinal du vide c'est 0 ?
Donc il faut un ensemble qui soit fini différent du vide ?
A est différent du vide, oui.
mais c'est B ou A/B qui doit être vide et ce pour tout B inclus dans A.
Essaie de bien choisir B pour dire comment est A.
Kaiser
Tu veux alors sans doute dire que A, étant non vide, contient donc un élément x et tu prends alors B={x}, c'est ça ?
Kaiser
, donc bonne nuit !
la seule chose que je trouve à dire c'est que A\B est aussi non vide du fait que A et B sont non vide, non ?
la seule chose que je trouve à dire c'est que A\B est aussi non vide du fait que A et B sont non vide, non ?
non. Si un ensemble est non vide, son complémentaire peut être vide.
Encore une fois, utilise 2/ :
pour tout B inclus dans A, parmi les deux ensembles B et A/B l'un d'eux au moins est vide, or B est ...
Kaiser
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