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Niveau terminale
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Les fonctions

Posté par
456DEF
28-12-20 à 11:10

Bonjour, j'ai cet exercice de type bac à faire mais je ne comprend quasiment rien j'ai seulement réussi à faire seulement 2 ou 3 questions. Pouvez vous m'aider ?

Enoncé :

Pour tout nombre entier naturel non nul n, on note fn la fonction définie sur parf_{n}(x)=x^{n}e^{-x}. On note Cn sa courbe représentative dans le plan muni d'un repère orthogonal.
Sur le graphique ci-contre (voir dans les image attachée) on a représenté une courbe Ck où k est un nombre entier naturel non nul, sa tangente Tk au point d'abscisse 1 et la courbe C3.
L'objectif du problème est de déterminer la valeur k telle que la droite Tk coupe l'axe des abscisses au point A de coordonnées (\frac{4}{5};0)

Questions + réponses
1a) Déterminer les limites de la fonction f1 en + et en -
f_{n}(x)=x^{n}e^{-x}f_{1}(x)=x^{1}e^{-x}
Donc lim x+f1=-
et lim x+ f1=0

b) Etudier les variations des la fonction f1 et dresser son tableau de variation.
f1 est croissant de ]-;1[ et elle est décroissante sur l'intervalle ]1;+[

c) A l'aide du graphique, justifier que k est un nombre entier supérieur ou égale à 2.
Ici je ne sais pas du tout comment faire

2) Démontrer que si n>1, alors toutes les courbes Cn passent par le point O et un autre point dont on déterminera les coordonnées.
Tout comme la question précédente je ne sais pas comment faire

b) Verifier que, pout tout nombre entier naturel n supérieur ou égal à 2 et pour tout nombre réel x on a :f_{n}'(x)=x^{n-1}(n-x)e^{-x}
f_{n}x=x^{n}e^{-x}
f_{n}'x=ne^{-x}x^{n-1}-e^{-x}x^{n}=e^{-x}(nx^{n-1}-x^{n})=x^{n-1}(n-x^{n})e^{-x}
ici je ne sais pas si c'est juste


3) Sur le graphique, la fonction f3 semble admettre un maximum atteint pour x=3. Valider cette conjecture à l'aide d'un démonstration
Ici je vois bien que son maximum est atteint pour x=3 mais je ne sais pas le démontrer

4a) Déterminer les coordonnées du point d'intersection de la droite Tk avec l'axe des abscisses.
je n'ai pas trouvé comment faire

b) En déduire, à l'aide des données de l'énoncé, la valeur du nombre entier k
je ne sais toujours pas

Mes réponses sont en bleues malgré qu'il y en n'est pas beaucoup, j'en suis navrée c'est rare quand je comprend vraiment rien.
En esperant que vous allez pouvoir m'aider. Merci d'avance

Les fonctions

Les fonctions

Posté par
ciocciu
re : Les fonctions 28-12-20 à 11:22

salut
en 1)a tu as écris 2 fois x tend vers +inf

n appartient à N ?

Posté par
456DEF
re : Les fonctions 28-12-20 à 11:30

ah oui j'avais pas fait attention du coup lim x tend vers +inf = 0 et l'autre c'est - inf

et oui n est un entier naturel

Posté par
ciocciu
re : Les fonctions 28-12-20 à 11:32

ok donc pour la 1)c)
est ce que ta courbe Ck est celle de C0 ? celle de C1?
donc forcément k il est comment

Posté par
456DEF
re : Les fonctions 28-12-20 à 11:39

comme Ck n'est pas la courbe de représentative de C0 ni de C1 alors cela signifie que k est supérieur ou égal à 2

Posté par
ciocciu
re : Les fonctions 28-12-20 à 11:45

bin voilà ...forcément k>2
2)
en prenant fn(x)  est ce que tu trouves des x pour lesquels le fn(x)  ne dépend pas de n
exemple fn(2) =2ne-x   donc c'est pas bon il dépend de n

Posté par
456DEF
re : Les fonctions 28-12-20 à 11:49

Ça dépendra toujours de n

Posté par
ciocciu
re : Les fonctions 28-12-20 à 11:51

bin non ....
essaie des valeurs "courantes "

Posté par
456DEF
re : Les fonctions 28-12-20 à 12:09

Ça dépend pas de n quand x=0 et x=1

Posté par
ciocciu
re : Les fonctions 28-12-20 à 12:11


donc tu peux répondre à la 2)

Posté par
ciocciu
re : Les fonctions 28-12-20 à 12:13

2)b) ta dérivée est ok jusqu'à
f'(x)=e-x(nxn-1-xn)
que peux tu factoriser dans la (    )?

Posté par
456DEF
re : Les fonctions 28-12-20 à 12:15

ciocciu @ 28-12-2020 à 12:11


donc tu peux répondre à la 2)

Je comprends toujours pas comment je peux démonter et calculer les coordonnées de O

Posté par
456DEF
re : Les fonctions 28-12-20 à 12:17

ciocciu @ 28-12-2020 à 12:13

2)b) ta dérivée est ok jusqu'à
f'(x)=e-x(nxn-1-xn)
que peux tu factoriser dans la (    )?

Je peux factoriser par xn car xn-1=xn*x-1

Posté par
ciocciu
re : Les fonctions 28-12-20 à 12:18

eh bien si toutes le courbes Cn passent par deux points ça veut bien dire que les coordonnées de ces 2 points ne dépendent pas de n   ok?
quelque soit le n les courbes passeront par ce point
pour x= 0 que vaut y ?  ça va te donner un point indépendant de n
pour x=1 que vaut y ? ça va te donner un autre point indépendant de n

Posté par
456DEF
re : Les fonctions 28-12-20 à 16:12

Fn(0)=0
fn(1)=e-1

Posté par
ciocciu
re : Les fonctions 28-12-20 à 16:20

donc toutes les courbes Cn passent par ces 2 points (0,0) et (1,e-1)
tu as répondu à la question 2
pour la suite

456DEF @ 28-12-2020 à 12:17

ciocciu @ 28-12-2020 à 12:13

2)b) ta dérivée est ok jusqu'à
f'(x)=e-x(nxn-1-xn)
que peux tu factoriser dans la (    )?

Je peux factoriser par xn car xn-1=xn*x-1

x-1 c'est 1/X donc ça sert pas à grand chose

si tuas x3- x4 tu peux mettre quoi en facteur ?

Posté par
456DEF
re : Les fonctions 28-12-20 à 16:55

-x3(x-1)

Posté par
456DEF
re : Les fonctions 28-12-20 à 17:09

je viens de le faire avec la dérivée de ma fonction mais à la fin je trouve -xn-1(x-n)e-x alors que je devrai trouver le résultat qu'on me donne c'est à dire xn-1(x-n)e-x
comment je doit faire ensuite

Posté par
456DEF
re : Les fonctions 28-12-20 à 17:48

ah j'ai trouvé il suffit juste d'inverser les 2 termes dans la parenthèses pour pouvoir enlever le - du factorisant

Posté par
ciocciu
re : Les fonctions 28-12-20 à 20:23

ok la 3) tu n'as aucune idée sur comment trouver un maximum (ou minimum)?

Posté par
456DEF
re : Les fonctions 28-12-20 à 20:58

soit avec la forme canonique soit comme on a x =3 on calcul f(3) soit avec la dérivée

Posté par
ciocciu
re : Les fonctions 28-12-20 à 22:45

Y'a qq trucs que tu sembles pas avoir bien compris
La forme canonique c'est uniquement avec un polynôme du 2nd degré ...ici c'est mort
Calculer f(3) ne va pas te montrer que c'est un maximum ... c'est mort

Il reste la dérivée ...et on en fait quoi ?

Posté par
456DEF
re : Les fonctions 29-12-20 à 08:58

Comme on l'a déjà grâce à la question précédente il nous reste plus qu'à faire son tableau de signe et quand elle change de signe cela signifie qu'il y a un extremum local

Posté par
ciocciu
re : Les fonctions 29-12-20 à 09:07

oui voilà ..allez feu ...y'a plus qu'à faire

Posté par
456DEF
re : Les fonctions 29-12-20 à 09:30

Mais comment je fais sachant que j'ai 2 inconnues ?

Posté par
ciocciu
re : Les fonctions 29-12-20 à 09:32

euh tu as calculé la dérivée pour n   tu as f'n(x) .....
pour f'3(x)   n vaut 3  donc remplaces et tu vas trouver f'3(x)

Posté par
456DEF
re : Les fonctions 29-12-20 à 09:44

du coup

x-                    0                    3                    +
xn-1            +            0           +                     +
(x-n)            -                           -          0         +
e-x            +                         +                     +
f'3(x)            -            0           -            0        +

Posté par
ciocciu
re : Les fonctions 29-12-20 à 09:48

euh oui mais on est sur f'3(x) donc il ne doit plus y avoir de n nulle part         car n=3

Posté par
ciocciu
re : Les fonctions 29-12-20 à 09:49

sinon c'est bon tu peux répondre à la question 3)

Posté par
ciocciu
re : Les fonctions 29-12-20 à 09:50

pour la 4a) que vaut l'équationde la tangente Tk en x=1  ?   cf cours

Posté par
456DEF
re : Les fonctions 29-12-20 à 09:51

ah oui j'ai oublié de changer Merci, du coup pour valider la conjecture j'ai juste à refaire le tableau de signe

Posté par
ciocciu
re : Les fonctions 29-12-20 à 09:55

exactement et de conclure que le maximum est atteint en 3 parce que la dérivéee
blabla

Posté par
456DEF
re : Les fonctions 29-12-20 à 09:57

y=f'(1)(x-1)+f(1)

Posté par
ciocciu
re : Les fonctions 29-12-20 à 10:00

ok remplace ce que tu peux ...bien sur il devrait y avoir des k qui trainent

Posté par
456DEF
re : Les fonctions 29-12-20 à 10:04

est ce que je dois remplacer n par k dans l'expression de la fonction fn(x) ?

Posté par
ciocciu
re : Les fonctions 29-12-20 à 10:11

oui  et dans f' aussi puisqu'il te parle de Tk   (je sais c'est un peu idiot mais bon l'énoncé est fait comme ça )

Posté par
456DEF
re : Les fonctions 29-12-20 à 10:17

f'k(1)=1k-1(1-k)e-1=e-1-k*e-1
fk(1)=1k-1*e-1=e-1
y=(e-1-k*e-1)(x-1)+e-1=x*e-1-x*k*e-1+k*e-1

Posté par
ciocciu
re : Les fonctions 29-12-20 à 10:35

ok j'ai pas vérifié les erreurs de calculs mais l'idée est là
je te conseille de mettre toujours une équartion de droite sous la forme y=Ax+B
ici y=(  ) x+ ( )
ensuite réponds à la question comment on trouve le pt d'intersection de cette droite avec les abscisses ?

Posté par
456DEF
re : Les fonctions 29-12-20 à 11:00

y=(e-1-ke-1)x+k*e-1
en résolvant le système d'équation : y=0 et y=(e-1-ke-1)x+k*e-1

Posté par
456DEF
re : Les fonctions 29-12-20 à 11:04

soit y=0 et x=e-1

Posté par
ciocciu
re : Les fonctions 29-12-20 à 12:43

non tu t'es gouré dans la résolution
refais tranquillement

Posté par
ciocciu
re : Les fonctions 29-12-20 à 12:43

et détaille un peu tes calculs

Posté par
456DEF
re : Les fonctions 29-12-20 à 12:50

\left\lbrace\begin{matrix} y=0\\ y=(e^{-1}-ke^{-1})x+ke^{-1} \end{matrix}\right.
\left\lbrace\begin{matrix} y=0\\ 0=(e^{-1}-ke^{-1})x+ke^{-1} \end{matrix}\right.
\left\lbrace\begin{matrix} y=0\\ -ke^{-1}=(e^{-1}-ke^{-1})x \end{matrix}\right.
\left\lbrace\begin{matrix} y=0\\ \frac{-ke^{-1}}{(e^{-1}-ke^{-1})}=x \end{matrix}\right.
\left\lbrace\begin{matrix} y=0\\ x=\frac{-1}{e^{-1}-1} \end{matrix}\right.

Posté par
ciocciu
re : Les fonctions 29-12-20 à 12:55

ok pour la simplification par e-1
par contre pas d'accord pour simplifier le k
refais le tu verras tu ne peux pas factoriser k en bas

Posté par
456DEF
re : Les fonctions 29-12-20 à 12:58

je ne comprends pas de quoi vous parler, la simplification dans les dernières étapes ou celle du départ dans l'équation de la tangente

Posté par
ciocciu
re : Les fonctions 29-12-20 à 13:03

dans les dernières étapes
x=\frac{-ke^{-1}}{e^{-1}-ke^{-1}}=\frac{e^{-1}(-k)}{e^{-1}(1-k)}=?

Posté par
456DEF
re : Les fonctions 29-12-20 à 13:05

ah d'accord du coup ça fait \frac{-k}{1-k}

Posté par
ciocciu
re : Les fonctions 29-12-20 à 13:09

ok donc pas de simplification de k on est d'accord
donc le point a pour coordonnées (\frac{k}{k-1}, 0)

tu n'as plus qu'à répondre à la dernière question

Posté par
456DEF
re : Les fonctions 29-12-20 à 13:25

oui mais on aurait pu le faire si on ne nous demandais pas par la suite de trouver k ou c'est "interdit"

du coup on sait que x=\frac{4}{5} donc \frac{k}{k-1}=\frac{4}{5}k=\frac{4}{5}*(k-1)\Leftrightarrow k=\frac{4}{5}k-\frac{4}{5}\Leftrightarrow k-\frac{4}{5}k=\frac{-4}{5}\Leftrightarrow \frac{1}{5}k\Leftrightarrow -\frac{4}{5}\Leftrightarrow k=\frac{\frac{-4}{5}}{\frac{1}{5}}\Leftrightarrow k=-4

Posté par
ciocciu
re : Les fonctions 29-12-20 à 13:27

et voilà...
pour quel k c'est interdit ? regarde ton x ...

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