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Niveau maths sup
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Les racines n eme !!

Posté par
Santos99
01-07-19 à 21:24

Bonsoir!
Merci dabord pour cette fenêtre qui nous permet de améliorer notre niveau en math !
j ai une petit exercice qui me fait mal a la tète :O
Voila

c est quoi le plus grand du nombre 1 , √2 , ∛3 , ∜4 , ... ∜n ( n eme biensur )
avec justification scientifique sans calcul
Merci

Posté par
malou Webmaster
re : Les racines n eme !! 01-07-19 à 21:31

bonsoir
comparer leur log népérien peut-être....

Posté par
alb12
re : Les racines n eme !! 01-07-19 à 21:38

salut, etudier une fonction ...

Posté par
Santos99
re : Les racines n eme !! 01-07-19 à 21:43

@malou sans resultat
@alb12 comment monsieur ?

Merci a vous pour vos réponse  

Posté par
malou Webmaster
re : Les racines n eme !! 01-07-19 à 21:43

sous-jacent dans ma réponse

Posté par
alb12
re : Les racines n eme !! 01-07-19 à 21:44

il s'agit de la suite des k^(1/k)

Posté par
alb12
re : Les racines n eme !! 01-07-19 à 21:45

sans calcul vraiment ?

Posté par
Santos99
re : Les racines n eme !! 01-07-19 à 21:53

Enffet sans utiliser la calculatrice
j observe avec la calcul que le plus grand est celle de racine(3) 3eme
pour tout n on augment de 1 jusque 3 et puis on descend jusque 1 ( infini eme ) ..
mais comment faire ca analytiquement aucune idée

Posté par
malou Webmaster
re : Les racines n eme !! 01-07-19 à 21:56

\ln (k^{\frac 1 k })=\dots

d'où l'idée d'étudier la fonction....
une dérivée, son signe, et c'est fini

Posté par
Santos99
re : Les racines n eme !! 01-07-19 à 22:04

@malou
ah bon
alors j ecrit une fonction f(x) = ln(x)^(1/x)
qui s ecrit aussi f(x) = (1/x)ln(x)
je calcul la derive et je doit obtient f'(x) s annule en 3 et alors le f(3) c est le maximum
c est ca ?

Posté par
Santos99
re : Les racines n eme !! 01-07-19 à 22:09

après calcul je trouve que f(x) et strictement croissant si x<e  (expo )
et strictement décroissant si x>e
mais dans notre cas on a le x et appartient a N
alors comment je peut relier ca a notre problème pour dire que c est le x=3 qui est le maximum ?

Posté par
larrech
re : Les racines n eme !! 01-07-19 à 22:18

Bonjour,

Il suffit de savoir dans quel intervalle [n ; n+1] se place e

Posté par
Santos99
re : Les racines n eme !! 01-07-19 à 22:20

Bonsoir larrech
Oui il se trouve entre 2 et 3
est ce que jusq a l instant il suffit de comparer le f(2) et le f(3) pour conclure ?

Posté par
larrech
re : Les racines n eme !! 01-07-19 à 22:23

Oui, une fois comparées ces deux valeurs, on peut conclure.

Posté par
Santos99
re : Les racines n eme !! 01-07-19 à 22:26

BINGOO

@malou   @alb12  @larrech      Merci beaucoup mes amis <3

Posté par
larrech
re : Les racines n eme !! 01-07-19 à 22:28

Posté par
Sylvieg Moderateur
re : Les racines n eme !! 02-07-19 à 10:24

Bonjour,
Deux remarques.

D'abord pour justifier "il suffit de comparer le f(2) et le f(3) pour conclure" :
Il s'agit de trouver n entier naturel non nul avec f(n) maximum.
La fonction f est croissante sur [1,2] ; donc f(1) < f(2) .
La fonction f est décroissante sur [3,+[ ; donc f(n) < f(3) si n 4 .

Ensuite pour comparer 21/2 et 31/3 sans calculatrice :
Avec a = 21/2 et b = 31/3 , on a a6 = 23 et b6 = 32 .
D'où b6 > a6 ; donc a>b .

Posté par
Sylvieg Moderateur
re : Les racines n eme !! 17-12-19 à 13:51

Oups
Cinq mois après :
D'où b6 > a6 ; donc b > a.

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