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Niveau terminale
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Les suites

Posté par
foq
22-12-21 à 14:18

Bonjour Madame ou Mademoiselle  et Monsieur

Est ce que vous pouvez m'aider si vous plait ?

On définit la suite Un par U0 = -9 et pour tout n N :

Un+1 = 4Un + 3n2 - 2n - 16

1. On considère l'algorithme suivant :

N=int(input('Saisir une valeur de N'))
U=-9
for k in range (0,N):
    U=4*U+3*k**2-2*k -16
print(U)


a. Quel est l'affichage en sortie lorsque N = 5 ?

b. Que permet de faire cet algorithme ?

c. Que peut-on conjecturer pour la suite (un ) ?

2. a. Démontrer par récurrence que, pour tout entier naturel n, Un -n2.

b. En déduire la limite de la suite (Un ).

3. Montrer que la suite (Un ) est décroissante à partir d'un certain rang.

4. Pour tout n , on pose :
Vn = Un + n2 - 5

a. Montrer que la suite (Vn ) est une suite géométrique.
Préciser sa raison et son premier terme.

b. En déduire l'expression de Un en fonction de n.

5. a. Pourquoi peut-on affirmer qu'il existe au moins un entier n0 tel que, pour tout n n0, Un -10p
On s'intéresse maintenant au plus petit entier n0.

b. Justifier que n0   2p.

c. Déterminer à l'aide de la calculatrice cet entier n0 pour la valeur p = 3.
d. Proposer un algorithme en langage Python qui, pour une valeur de p donnée en entrée, affiche en sortie la valeur du plus petit entier n0 tel que, pour tout n > n0, on ait Un -10p .

Ce que j'ai fait :

1)a) N=5 on a -15038

1)b) Le programme permet de calculer la suite Un+1 .

c) j'arrive pas .

2)a) j'ai commencer initialisation mais je trouve que U n -n2.

2)b) Si j'ai pas la a , j'ai pas la b aussi .

3) J'ai pas .

4)a) Vn+1=Un+1+n2-5
                                              =4Un+3n2-2n-16+n2-5
                                               = 4Un+4n2-2n-5
J'arrive pas à factoriser.

Posté par
foq
re : Les suite 22-12-21 à 14:22

J'ai fait une faute de frappe sur le titre . Est ce que vous pouvez modifiez . Si vous voulez bien .  Si vous plait

Posté par
foq
re : Les suite 22-12-21 à 14:48

Posté par
carita
re : Les suite 22-12-21 à 14:59

bonjour

je vais essayer de t'aider, du moins pour une partie... je cherche encore la 3)...

1)a
je ne trouve pas comme toi;  tu l'as fait tourner sur ton logiciel ?

b. Que permet de faire cet algorithme ?
1)b) Le programme permet de calculer la suite Un+1 .
....hum ce n'est pas tout à fait exact avec le code comme il est là
(vérifie l'indentation du print...)

c. Que peut-on conjecturer pour la suite (un ) ?  croissante, décroissante ?

2a) montre ton initialisation

Posté par
carita
re : Les suites 22-12-21 à 15:06

4) Pour tout n ? , on pose :    Vn = Un + n2 ? 5
a. Montrer que la suite (Vn ) est une suite géométrique.   Préciser  raison et premier terme.


Vn+1=Un+1+-5--- erreur ici, c'est (n+1)²
=...

tu dois arriver à une forme    Vn+1= q * Vn    où q sera la raison de la suite géométrique

Posté par
carita
re : Les suites 22-12-21 à 15:14

5) a. Pourquoi peut-on affirmer qu'il existe au moins un entier n0 tel que, pour tout n n0, Un -10p

d'où provient la variable p ?

Posté par
foq
re : Les suites 22-12-21 à 15:14

1)a) J'ai refait et je trouve -14356 pour N=5 .

1)b)  Le programme je les pas modifié mais si je met le print dans la boucle for , ça va me mettre tout les résultat de 0 à N-1 . Est ce que il faut pas rajouté un N+1 dans les paramètre de for .

c) La suites est décroissante .

2)a) Je les refait .

Initialisation : U1 = -52
                                          -12 = 1
Un -n[sup][/sup]
Donc la propriété est vrai au rang 1 .

Posté par
carita
re : Les suites 22-12-21 à 15:28

1) tu l'as trouvé comment ?  avec le programme ou avec un tableur ?

parce que ce n'est pas ça...
regarde mieux comment fonctionne l'instruction "in range(n)", dans le cours.

1)b)  Le programme je l'ai pas modifié mais si je mets le print dans la boucle for ,
ça va me mettre tous les résultats de 0 à N-1
===> exactement !
donc ça te permet de rectifier ta réponse du 1)a)

et donc si dans l'énoncé le print est avec cette indentation (au même niveau que "for")
le programme va retourner seulement le dernier terme calculé,
à savoir le terme d'indice ....? .

Posté par
carita
re : Les suites 22-12-21 à 15:36

c) La suite est décroissante .  oui

2)a)
rédige proprement
soit p(n) la proposition  Un   -n²

Initialisation : U1 = -52    ==> pourquoi ne pas commencer par le 1er  terme U0 ?
U0 = -9   -0²
Donc la propriété est vrai au rang 0 .

hérédité :
supposons vraie la proposition  P(k)  à un rang k donné : Uk   -k²
montrons que  P(k+1)  est également vraie, i.e.   U(k+1)   -(k+1)²

  U(k+1)  = .... à toi !

Posté par
carita
re : Les suites 22-12-21 à 15:38

je m'absente par intermittence.

d'autres intervenants disponibles pourront prendre le relai.

Posté par
carita
re : Les suites 22-12-21 à 16:10

je t'ai dit une ânerie, désolée  
la pause s'impose...

1a) retourne bien -14356

in range de 0 à 5, ça fait bien 5 itérations  !
et comme on a déjà U0 (dans U), la 5ème itération retourne U5

1)b)  le programme retourne donc le terme d'indice N fourni

Posté par
foq
re : Les suites 22-12-21 à 16:14

carita @ 22-12-2021 à 15:06

4) Pour tout n ? , on pose :    Vn = Un + n2 ? 5
a. Montrer que la suite (Vn ) est une suite géométrique.   Préciser  raison et premier terme.


Vn+1=Un+1+-5--- erreur ici, c'est (n+1)²
=...

tu dois arriver à une forme    Vn+1= q * Vn    où q sera la raison de la suite géométrique


Un+1= Un+1+n2+2n-4
                                      =4Un+3n2-2n-16+n2+2n-4
                                       = 4Vn

V0= U0+n2-5
                               = -9+02-5
                               = -14
1)a) Grâce a votre intervention je trouve sur ma Calculatrice  et sur un site où il y a un environnement python . Je trouve -57375 .

2)a) Initialisation : U0= -9
                                                                            -n2=-02=0

Donc la propriété est vrai au rang 0 .

Hérédité : On suppose que pour un entier n fixé , Un -n2 . Montrons que Un+1-n2-2n-1.

Un -n2
Mais je ne trouve pas UN+1 mais je trouve 4n-16 .

Posté par
foq
re : Les suites 22-12-21 à 16:16

1)a) C'est bien -14356 .

Posté par
carita
re : Les suites 22-12-21 à 17:04

4a) ok
tu peux donc exprimer le terme général de (Vn) (forme explicite)
puis répondre à 4b)

2a) hérédité
montre ce que tu as écrit

Posté par
foq
re : Les suites 22-12-21 à 17:34

2)a) Un -n2
          4Un -4n2
          4Un+3 -4n2+3
          4Un+3-2 -4n2+3-2
          4Un+3-2-16 -4n2+3-2-16
           4Un-16 -4n2-16

Posté par
carita
re : Les suites 22-12-21 à 17:39

carita @ 22-12-2021 à 15:36

...2)a)...
hérédité :
supposons vraie la proposition  P(k)  à un rang k donné : Uk   -k²
montrons que  P(k+1)  est également vraie, i.e.   U(k+1)   -(k+1)²

  U(k+1)  = .... à toi !


débute comme indiqué (avec la définition de la suite)
ensuite, utilise l'inégalité de l'hypothèse de récurrence.
essaie à nouveau

Posté par
foq
re : Les suites 22-12-21 à 18:24

J'ai essayer de le faire avec votre méthode mais j'arrive pas .

Uk+1= 4Uk+3n2-2n-16
et après j'arrive pas .

Posté par
carita
re : Les suites 22-12-21 à 18:38

Uk+1= 4Uk+3k2-2k-16

utilise l'hypothèse de récurrence  Uk -k2

Uk -k2
4Uk -4k2   --- le sens de l'inégalité est conservé puisque on multiplie par un nb>0
4Uk+3k2-2k-16 -4k2+3k2-2k-16 --- le sens de l'inégalité est conservé (addition)
Uk+1     -4k²+3k2-2k-16
      
or  -4k²+3k2-2k-16  = ....
garde un oeil sur ton objectif :  Uk+1-k²-2k-1.

Posté par
foq
re : Les suites 22-12-21 à 18:51

or  -4k²+3k2-2k-16  est plus grand que -k²-2k-1 car -16<_1 .

Posté par
foq
re : Les suites 22-12-21 à 20:58

4)b) Un=-14*4n

Posté par
carita
re : Les suites 22-12-21 à 21:17

foq @ 22-12-2021 à 18:51

or  -4k²+3k2-2k-16  est plus grand petit que -k²-2k-1 car -16<_1 .

-4k²+3k2-2k-16 = -k²-2k-16 =   -k²-2k-1-15 = -(k+1)²-15 -(k+1)²
d'où...
puis tu conclus

foq @ 22-12-2021 à 20:58

4)b) Un=-14*4n

non, ceci n'est pas Un, mais Vn

ps : je sèche sur les questions 3 et 5a)b)...
ai demandé l'aide d'autres intervenants.

Posté par
foq
re : Les suites 23-12-21 à 10:48

Un=-14*4n+n2-5

Posté par
foq
re : Les suites 23-12-21 à 10:50

Bonjour

Est ce que d'autre intervenant peuvent il m'aider si vous plait .

Posté par
carita
re : Les suites 23-12-21 à 11:35

bonjour

Un=-14*4n+n2-5
erreurs de signes sur les termes en rouge

Vn = Un + n2 - 5
donc
Un = Vn - ......?

---

3) peut-être l'énoncé a été adapté d'un autre...
si on établit la différence Un+1  - Un
on arrive assez facilement à montrer qu'elle est toujours négative.
donc (Un) décroissante sur N

5) a)b) attendons les réponses d'autres intervenants

5)c) celle-ci tu peux essayer de la faire
on demande la valeur du plus petit entier n0 tel que, pour tout n > n0, on ait Un -10³ .

5d) que proposes-tu ?

Posté par
Sylvieg Moderateur
re : Les suites 23-12-21 à 14:54

Bonjour,
Je confirme que la suite (un) est décroissante, et que c'est assez facile à démontrer.
Répondre par "la suite (un) est décroissante à partir du rang 0" ?

Posté par
Sylvieg Moderateur
re : Les suites 23-12-21 à 15:22

Nous ne savons toujours pas ce qu'est ce p dans l'énoncé de 5)a).
Ceci dit, la suite (un) a comme limite -.
Par définition de cette limite, on a
pour tout A réel, il existe un rang n0 tel que pour tout n n0, un A.
Il suffit d'y remplacer A par -10-p

Posté par
foq
re : Les suites 23-12-21 à 17:19

3)  Montrer que la suite (Un ) est décroissante à partir d'un certain rang.

Un+1-Un= 4Un+3n2-2n-16-Un
                       3Un+3n2-2n-16
3n2>0
-2n<0
-16<0
Mais 3Un on sait pas si il est négative ou positive .

De plus on montre quelle est décroissent mais on  a pas son rang .

2)b) Un=Vn-n2+5


carita @ 22-12-2021 à 21:17

foq @ 22-12-2021 à 18:51

or  -4k²+3k2-2k-16  est plus grand petit que -k²-2k-1 car -16<_1 .

-4k²+3k2-2k-16 = -k²-2k-16 =   -k²-2k-1-15 = -(k+1)²-15 -(k+1)²
d'où...
puis tu conclus

Hérédité (suite) : la propriété est hérédité.

Conclusion :  Par principe de récurrence : pour tout entier naturel n, Un -n2.

2)b) En déduire la limite de la suite (Un ).

Comme  Un -n2 alors la limite de Un sera - car la limite de  -n2 est - .

5)c) celle-ci tu peux essayer de la faire
on demande la valeur du plus petit entier n0 tel que, pour tout n > n0, on ait Un -10³ .

J'ai pas compris votre explication .

Posté par
foq
re : Les suites 23-12-21 à 18:58

Sylvieg @ 23-12-2021 à 15:22

Nous ne savons toujours pas ce qu'est ce p dans l'énoncé de 5)a).
Ceci dit, la suite (un) a comme limite -.
Par définition de cette limite, on a
pour tout A réel, il existe un rang n0 tel que pour tout n n0, un A.
Il suffit d'y remplacer A par -10-p


C'est la réponse ou des indication pour la reponse car je n'ai pas compris la définition ( est ce que on le voie en terminale ou pas )

Posté par
Sylvieg Moderateur
re : Les suites 23-12-21 à 19:03

Tu n'as pas un cours, un livre ?

Je réponds aussi à "Mais 3Un on sait pas si il est négative ou positive" :
Qu'est-ce qui a été démontré au 2)a) ?

Posté par
foq
re : Les suites 23-12-21 à 19:06

"Qu'est-ce qui a été démontré au 2)a) ?" J'ai compris .

Posté par
foq
re : Les suites 23-12-21 à 19:10

Si j'ai un cahier mais j'ai vue :
Suite majorée , minorée , bornée , Limite de suites ( Suites sans limite , Théorème de comparaison, Thérémine des gendarmes et limites des suites monotones) .  

Posté par
Ulmiere
re : sujet en rade 23-12-21 à 20:01

Bon, alors voici une correction que je te propose carita (je n'ai pas fait les applications numériques)

1) l'algo fait N tours de boucle, donc renvoie le résultat du calcul du N-ième successeur de u_0, qui est u_N

2) Facile et l'égalité est stricte d'ailleurs. Initialisation évidente parce que -9 < 0 et si u_n \leqslant -n^2 alors u_{n+1} = 4u_n + 3n^2-2n-16 \leqslant -4n^2+3n^2 - 2n -16 \leqslant -n^2 - (2n+16) < -n^2. Par encadrement u tend vers -\infty

3) Facile aussi, u_{n+1}-u_n = 3u_n + 3n^2-2n-16 \leqslant -3n^2 + 3n^2 -2n-16 \leqslant -2n-16 < 0 pour tout n donc la suite décroit strictement. Je ne comprends pas trop ce qui te gène ici ?

4) a)\begin{array}{lcl}
 \\ v_{n+1} &=& u_{n+1} + (n+1)^2-5 = 4u_n +  3n^2-2n-16 +  n^2+2n+1  - 5\\
 \\ &=& 4u_n + 4n^2 + 0n -20\\
 \\ &=& 4(u_n + n^2 - 5)\\
 \\ &=& 4v_n
 \\ \end{array}

4)b) v_n = v_0\times 4^n = (u_0-5)4^n = -14\times 4^n
Donc u_n = v_n + 5 -n^2 = 5-14\times 4^n - n^2

5)a) Soit p un entier naturel. On applique la définition de la limite -\infty : "\forall A>0, \exists n_0 : \forall n\geqslant n_0 u_n \leqslant -A" avec A = 10^p > 0

5)b) étant donné que u est (strictement) décroissante, il s'agit de montrer que u_{2^p} \leqslant -10^p. On utilise l'expression en fonction de n pour établir u_{2^p} = 5-14\times 4^{2^p} - 4^p. On veut montrer que pour tout p\geqslant 2, 14\cdot 4^{2^p} + 4^p - 10^p \geqslant 5. Pour cela, il suffit de montrer que 14\cdot 4^{2^p}-10^p \geqslant 0. Le reste vient de 4^p\geqslant 5, qui est triviale (suite croissante, de premier terme 16). Et pour p \in\{0,1\}, on a évidemment u_0 = -9\leqslant -1 et u_1 = -36-16\leqslant -10.

Pour l'inégalité qui reste, elle est équivalente à 2^p/p \geqslant \ln(10)/\ln(4).
La fonction f:x\mapsto \exp(x\ln(2))/x est dérivable sur (0,\infty)

et f'(x) = \dfrac{2^x (x\ln(2)-1)}{x^2} est du signe de x\ln(2)-1. Donc f est strictement croissante sur [1/\ln(2),\infty)\subseteq [2,\infty). Alors pour tout p\geqslant 2, f(p) \geqslant f(2) = 2 > \ln(10)/\ln(4) \simeq 1.67

*** message déplacé ***

Posté par
Ulmiere
re : Les suites 23-12-21 à 20:06

@carita, je t'ai répondu dans le topic "sujet en rade"

Posté par
foq
re : Les suites 23-12-21 à 20:10

Suite au message de Ulmiere , je n'ai pas vue la fonction logarithme .

Posté par
carita
re : Les suites 23-12-21 à 20:12

bonsoir à vous,
merci beaucoup Sylvieg pour ton éclairage sur cette fichue question 5

foq
5)c) on demande la valeur du plus petit entier n0 tel que, pour tout n > n0, on ait Un -10³ .
utilise la calculatrice ou carrément le programme python que tu as fait.

-10³ = -1000
dans l'ordre croissant des termes (ordre des indices croissants),  quel est le dernier terme qui est supérieur à -1000 ?
quel est son indice ?

puis relis attentivement la question posée...  qu'en penses-tu ?

Posté par
carita
re : Les suites 23-12-21 à 20:20

bonsoir Ulmiere
je viens juste de voir ton message,  tu pouvais directement intervenir ici sans problème.

j'ai lu tes réponses jusqu'à la 4) inclue, je suis entièrement d'accord avec toi.
pour la 3) c'est la formulation " décroissante à partir d'un certain rang." qui me gênait.
je préférais avoir confirmation.

pour 5b) je vais étudier ta réponse attentivement.
si tu le souhaites, tu peux répondre ici à foq

merci beaucoup pour ton aide !!

Posté par
foq
re : Les suites 23-12-21 à 20:23

J'ai pas fait de programme python pour la c ) . C'est a la d) qu'il nous demandons un programme  ??

Posté par
carita
re : Les suites 23-12-21 à 20:36

je parlais du programme python du 1) qui te permet de calculer un

comme tu l'as dit toi-même, si tu modifies l'indentation du print, tu affiches tous les termes à partir de u1

Posté par
foq
re : Les suites 23-12-21 à 20:38

carita @ 23-12-2021 à 20:12

bonsoir à vous,
merci beaucoup Sylvieg pour ton éclairage sur cette fichue question 5

foq
5)c) on demande la valeur du plus petit entier n0 tel que, pour tout n > n0, on ait Un -10³ .
utilise la calculatrice ou carrément le programme python que tu as fait.

-10³ = -1000
dans l'ordre croissant des termes (ordre des indices croissants),  quel est le dernier terme qui est supérieur à -1000 ?
quel est son indice ?

puis relis attentivement la question posée...  qu'en penses-tu ?


C'est -100 d'indice 2 .

Posté par
Ulmiere
re : Les suites 23-12-21 à 20:39

En fait, tu as déjà le programme dans l'énoncé


for n in range(N):
    u = ...
    if u <= -10**p:
        return n
# ici


n'atteindra jamais le "#ici", grâce à la question 5)a), pourvu que N soit assez grand

La question 5)b) te donne un justement N assez grand (2^p)
Et donc le code suivant te donnera le résultat


def n0(p, u0=-9):
	u = u0
	L, N = -10**p, 2**p+1
	for n in range(0,N):
		u = u*4 + (3*n+8)*(n+2)
		if u <= L:
			return n
	# on n'arrive jamais ici, grâce à la question 5)b)

Posté par
foq
re : Les suites 23-12-21 à 20:41

Ce que j'ai écrit a 20:38 c'est faux . Valeur -900 , d'indice 3

Posté par
carita
re : sujet en rade 23-12-21 à 20:51

merci Ulmiere !

*** message déplacé ***

Posté par
foq
re : Les suites 23-12-21 à 20:52

Votre programme ( Ulmiere) m'affiche 4 et non 3  mais je pense que c'est bon car l'indice  0 n'est pas intégré dans votre programme .
Mais merci de votre aide .

Posté par
carita
re : Les suites 23-12-21 à 20:58

voilà

si on pose n0 = 3,
on aura bien,  pour tout n >  n0,      Un -10³

en effet
U4 = -3595
U4 =-14356
etc

Posté par
carita
re : Les suites 23-12-21 à 21:00

*  U5 =-14356

Posté par
foq
re : Les suites 23-12-21 à 21:16

Est que vous pouvez m'expliquer la 5)a) et la 5)b) , car je ne comprend pas ce que Sylvieg ma expliquer . Merci
Bonne Nuit à tous (Si vous ne vous reconnecter pas entre temps .)

Posté par
foq
re : Les suites 24-12-21 à 10:23

Posté par
carita
re : Les suites 24-12-21 à 10:37

5a) il s'agit de la définition d'une limite (infinie) d'une suite réelle.

une définition se s'explique pas;
mais tu en as un exemple d'application en 5c), avec p=3

autre ex :
si p=5,
il existe un rang n0 tel que pour tout n > n0,       un- 105.

vérifie : tu dois trouver n0= 6
et en effet, pour tout n > 6  (à partir de n=7, donc)
on a bien Un   -100 000.


5b) tu as vu l'explication de Ulmière;
si tu n'as pas appris les fonction ln et exp, je ne vois pas comment t'expliquer (désolée).

on veut démontrer que n0 2p;
le principe proposé est de démontrer que u2p -10p


5c) je te suggère de faire ton propre programme python.

à moins que tu ne sois très à l'aise avec python,
je pense que ton professeur aura du mal à croire que c'est toi qui as écrit celui-ci

ps : il ne t'a pas échappé que Ulmiere a volontairement trafiqué la formule de Un

Posté par
carita
re : Les suites 24-12-21 à 10:39

je m'absente par intermittence, mais je repasse te lire de temps en temps.

Posté par
foq
re : Les suites 24-12-21 à 11:12

Pour le programme je les un peu modifier .

d. Proposer un algorithme en langage Python qui, pour une valeur de p donnée en entrée, affiche en sortie la valeur du plus petit entier n0 tel que, pour tout n > n0, on ait Un -10p .

Est e que ça correspond à  renoncé car on a pas n > n0  ?

def n0(p, u0):
	u = u0
	for n in range(0,2**p+1):
		u = u*4 + (3*n**2)-(2*n)-16
		if u <= -10**p:
			return n


Avec ce programme je trouve bien n0=6

Est ce que pour la 5)b)par récurrence on peut  le démontrer ou pas .

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