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Posté par
Ulmiere
re : sujet en rade 24-12-21 à 11:25

De rien, mais il y a une petite erreur

L'inégalité est equivalente à \ln(14) + 2^p\ln(4) \geqslant p\ln(10)
J'avais oublié le ln(14) !

Ci dessus on a montré que 2^p\ln(4) \geqslant p\ln(10). Comme \ln(14)>0, \ln(14) + 2^p\ln(4) > 2^p\ln(4) \geqslant p\ln(10).

*** message déplacé ***

Posté par
carita
re : Les suites 24-12-21 à 11:44

ok pour ton code
dont le but est de trouver n0, qui sera retourné dans la variable n

à noter que                  for n in range(0,2**p+1):
peut s'écrire aussi   for n in range(2**p+1):

5)b)par récurrence : oui tu peux essayer (avec beaucoup de rigueur et de soin dans la rédaction)

Posté par
foq
re : Les suites 24-12-21 à 11:47

Pour la 5)b) je fais faire par récurrence et je vous envoie ce que j'ai trouvé .
Merci

Posté par
carita
re : Les suites 24-12-21 à 11:56

5b) ... je cherche encore.
j'arrive à montrer  que  u2(p+1) -10p,  mais (rigoureusement) pas    u2(p+1) -10p+1

avis aux amateurs...

Posté par
foq
re : Les suites 24-12-21 à 15:21

Des l'initialisation j'arrive pas car il y a u2(p+1) , je ne sais pas c'est quoi .

Posté par
Sylvieg Moderateur
re : Les suites 24-12-21 à 16:38

Bonjour,
J'essaye de rebondir à partir d'un message d'Ulmiere, sans utiliser les logarithmes.

Citation :
On veut montrer que pour tout p\geqslant 2, 14\cdot 4^{2^p} + 4^p - 10^p \geqslant 5. Pour cela, il suffit de montrer que 14\cdot 4^{2^p}-10^p \geqslant 0.

On peut démontrer 14\times 4^{(2^p)} \geqslant 10^p par récurrence.

4^{(2^{p+1})} =  4^{(2^{p}\times2)} = (4^{(2^{p})})^2 = 4^{(2^{p})}\times 4^{(2^{p})}
Or 4^{(2^{p})} \geqslant 10.

Posté par
Sylvieg Moderateur
re : Les suites 24-12-21 à 16:40

foq @ 24-12-2021 à 15:21

Des l'initialisation j'arrive pas car il y a u2(p+1) , je ne sais pas c'est quoi .
2p+1 = 2p21 = 22p

Posté par
foq
re : Les suites 24-12-21 à 17:37

carita @ 24-12-2021 à 11:56

5b) ... je cherche encore.
j'arrive à montrer  que  u2(p+1) -10p
avis aux amateurs...


Moi je ne trouve pas ça : Initialisation : 2p+1=20+1=2
-10p=-100=-1
Donc la propriété n'est pas vérifié au rang 0 .

Posté par
Ulmiere
re : Les suites 24-12-21 à 18:13

Pour l'hérédité,

4^(2^(p+1)) = (4^(2^p))^2 = 16^(2^p) > 10^(2^p).

Reste à montrer que 2^p est supérieur ou égal à p+1 pour tout p.
Ca peut se faire par récurrence, en remarquant que 2(p+1) - (p+2) = Pc est positif ou nul

Posté par
Ulmiere
re : Les suites 24-12-21 à 18:15

Coquille: "= p est supérieur ou égal..." à la fin

Posté par
foq
re : Les suites 24-12-21 à 18:30

Excusez moi et je suis sincèrement désoler mais je me perds entre les récurrence . Ce n'est pas les même récurrence qu'on  fait d'habitude
en classe.  

Posté par
Ulmiere
re : Les suites 24-12-21 à 18:46

Soient a,b,c,d quatre entiers naturels.
1) Montre (sans utiliser les logarithmes) que
1)A)   a > b \implies a^c > b^c
1)B)   c > d \implies a^c > a^d

2) Montre par récurrence que pour tout p entier naturel, 2^p \geqslant p+1. Tu peux utiliser 1) à tout moment dans cette question.

3) Montre par récurrence que pour tout p entier naturel, 4^{2^p} \geqslant 10^p. Tu peux utiliser 1) et 2) à tout moment dans cette question.

Posté par
Sylvieg Moderateur
re : Les suites 25-12-21 à 08:20

Bonjour,
Un détail, ou plutôt deux :
Pour avoir des inégalités strictes dans 1), il faut supposer c non nul et a 2

Posté par
Sylvieg Moderateur
re : Les suites 25-12-21 à 08:40

Pour 5)b), j'essaye de clarifier le début, avant une récurrence.
Il a été démontré un = -144n - n2 + 5
On cherche à démontrer u_{2^{p}} \leq -(10^{p})

Si n 3 alors un -144n.

D'où l'idée de chercher à démontrer 14\times 4^{(2^{p})} \geq 10^{p}
C'est cette propriété qu'on se propose de démontrer par récurrence.

Posté par
foq
re : Les suites 26-12-21 à 20:57

Bonsoir

Avec un peu de retard .

5)b) U2p=14*42p-4p2+5-10p
Où p > 0 .

Comme (Un) est décroissant donc pour rout n2p, Un-10p le plus petit n0 est n0<2p .

Merci

Posté par
foq
re : Les suites 26-12-21 à 23:38

Posté par
foq
re : Les suites 27-12-21 à 10:19

Posté par
Sylvieg Moderateur
re : Les suites 27-12-21 à 11:15

Ton message de 20h57 n'est pas clair.
2p 2p
Si tu veux mettre 2p en indice ou en exposant, utilise ^ :
u2^p

Il manque un moins devant le 14, et ce n'est pas -10p qu'on veut, mais -10p.


As-tu réussi à à démontrer u2^p -10p ?

Posté par
foq
re : Les suites 27-12-21 à 16:12

Initialisation : U2^0=-219
-100=-1
Donc la proprete est vrai au rang 0.

Posté par
foq
re : Les suites 27-12-21 à 16:12

foq @ 27-12-2021 à 16:12

Initialisation : U2^0=-219
-100=-1
Donc la proprete est vrai au rang 0.

Posté par
Sylvieg Moderateur
re : Les suites 27-12-21 à 16:18

u2^0 = u1
Je ne trouve pas -219.

Posté par
foq
re : Les suites 27-12-21 à 16:25

Hredite :On suppose pour un p fixe , U2^p -10p . Montrons que U2p+2 -10p+1.

Je ne sais pas comment trouver -10p+1 . Est ce que il faut remplacer les n dans l expession de Un par -10p+1.

Posté par
foq
re : Les suites 27-12-21 à 16:29

foq @ 27-12-2021 à 16:25

Hredite :On suppose pour un p fixe , U2^p -10p . Montrons que U2p+2 -10p+1.

Je ne sais pas comment trouver -10p+1 . Est ce que il faut remplacer les n dans l expession de Un par -10p+1.

Posté par
foq
re : Les suites 27-12-21 à 16:31

Sylvieg @ 27-12-2021 à 16:18

u2^0 = u1
Je ne trouve pas -219.


C est -9

Posté par
Sylvieg Moderateur
re : Les suites 27-12-21 à 17:14

u0 = -9
u1 = ?

Et as-tu regardé mon message du 25 à 8h40 ?

Posté par
foq
re : Les suites 27-12-21 à 20:46

Pour U1 je trouve -223.
J'ai vue votre message . Je doit refaire ma récurrence .

Posté par
foq
re : Les suites 27-12-21 à 20:48

Sylvieg @ 25-12-2021 à 08:40

Pour 5)b), j'essaye de clarifier le début, avant une récurrence.
Il a été démontré un = -144n - n2 + 5
On cherche à démontrer u_{2^{p}} \leq -(10^{p})

Si n 3 alors un -144n.

D'où l'idée de chercher à démontrer 14\times 4^{(2^{p})} \geq 10^{p}
C'est cette propriété qu'on se propose de démontrer par récurrence.


14\times 4^{(2^{p})} \geq 10^{p} . C'est pas -10p

Posté par
foq
re : Les suites 27-12-21 à 21:16

Bonsoir

14\times%204^{(2^{p})}%20\geq%20-10^{p}

Initialisation : 14*40=14
                               -100= -1

Donc la propriété est vrai au rang 0

Hérédité :  On suppose qu pour un p fixé ,
14\times%204^{(2^{p})}%20\geq%20-10^{p} .
Montrons que  ,  14\times%204^{(2^{p+2})}%20\geq%20-10^{p+1} .
Est ce que le p il est en puissance sur 14\times%204^{(2^{p})} .

Posté par
Sylvieg Moderateur
re : Les suites 28-12-21 à 10:25

Je réponds d'abord au message de 20h48.

On veut démontrer \; u_{2^{p}} \leq -(10^{p}) . Ce qui est équivalent à \; - u_{2^{p}} \geq  10^{p} .
Si \; n 3 \; alors \; un -144n .
Donc, si \; n 3 \; alors \; u_{(2^{p})} \leq -14\times 4^{(2^{p})} ; donc \; - u_{(2^{p})} \geq 14\times 4^{(2^{p})}

Si on démontre \; 14\times 4^{(2^{p})} \geq 10^p , on aura bien démontré que \; - u_{2^{p}} \geq  10^{p} .

Posté par
Sylvieg Moderateur
re : Les suites 28-12-21 à 14:03

Citation :
14\times%204^{(2^{p})}%20\geq%20-10^{p}
Initialisation : 14*40=14
Si p = 0 alors 2p = 20 = 1.
L'exposant de 4 est donc 1 et pas 0.

Attends pour continuer, car la propriété à démontrer par récurrence ne me semble pas bien choisie.
Je reviendrai en fin d'après midi.

Posté par
foq
re : Les suites 28-12-21 à 14:31

Bonjour
D'accord , Merci .

Posté par
Sylvieg Moderateur
re : Les suites 28-12-21 à 18:49

Je propose de démontrer \;  4^{(2^{p})} \geq 10^p pour p 1.
Pour p entier naturel, poser Q(p) : \;  4^{(2^{p})} \geq 10^p .

Initialisation :
Q(1) s'écrit \;  4^{(2^{1})} \geq 10^1 .
D'une part \; 21 = 2 et 42 = 16 .
D'autre part \; 101 = 10 .
Q(1) est donc vrai.

Hérédité :
On suppose que pour un p entier naturel avec p1, l'inégalité Q(p) est vraie.
 4^{(2^{p})} \geq 10^p .
On veut en déduire Q(p+1), c'est à dire \;  4^{(2^{p+1})} \geq 10^{p+1} .
2p+1 = 2p21 = 2p2 . D'où \;  4^{(2^{p+1})} =  4^{(2^{p}\times 2)}

a^{b\times c} = (a^{b})^{c} \; ; donc \; 4^{(2^{p}\times 2)} = (4^{(2^{p})})^2 = (4^{(2^{p})}) \times (4^{(2^{p})}) .
On en déduit 4^{(2^{p+1})} \geq 10^p \times 10^p
p 1 ; donc 10p 10.
D'où 4^{(2^{p+1})} \geq 10^p \times 10 qui donne enfin 4^{(2^{p+1})} \geq 10^{p+1} .
Ouf !

Posté par
foq
re : Les suites 28-12-21 à 19:21

Sylvieg @ 28-12-2021 à 18:49


D'où  4^{(2^{p+1})} \geq 10^p \times 10^p


J'ai pas compris le  10^p \times 10^p . C'est pas  10^p \times 10

De plus , pour répondre a la question 5)b) qui est : Justifier que n0  2p.

Pour répondre au question je reprend votre message de  28-12-21 à 10:25 et 28-12-21 à 18:49 .

Posté par
Sylvieg Moderateur
re : Les suites 28-12-21 à 19:29

Dans ces trois lignes que je numérote,

Citation :
1) On en déduit 4^{(2^{p+1})} \geq 10^p \times 10^p
2) p 1 ; donc 10p 10.
3) D'où 4^{(2^{p+1})} \geq 10^p \times 10 qui donne enfin 4^{(2^{p+1})} \geq 10^{p+1}
Quelle est celle que tu ne comprends pas ?

Posté par
foq
re : Les suites 28-12-21 à 19:36

J'ai compris  .

Pour répondre au question je reprend votre message de  28-12-21 à 10:25 et 28-12-21 à 18:49 . et les trois lignes que vous avez  numérote, dans le message précédons .

Posté par
foq
re : Les suites 28-12-21 à 23:39

Posté par
Sylvieg Moderateur
re : Les suites 29-12-21 à 08:22

Si tu veux des réponses (mais pas au milieu de la nuit), pose des questions précises au lieu de faire des "up".

Posté par
foq
re : Les suites 29-12-21 à 12:06

Bonjour

Je vais essayer de faire le début d' un résumer de la réponse a la 5)b) , avec vos réponse .

Montrons par récurrence u2(p+1) -10p.

Initialisation : 2p+1=20+1=2
-10p=-100=-1
Donc la propriété n'est pas vérifié au rang 0 .


Hérédité : Je ne sais pas quoi mettre comme phrase car la supposition n'est pas vrai .

4^{2^(p+1)} = 4^{2^p)}^2 = 16^{(2^p)} > 10^{(2^p)}

Donc La propriété n'est pas vérifié .

Conclusion : Par principe de récurrence :  u2(p+1) -10p , n'est pas vrais .

Posté par
foq
re : Les suites 29-12-21 à 12:09

* Modération > Citation inutile effacée. *


Posté par
Sylvieg Moderateur
re : Les suites 29-12-21 à 12:30

Citation :
Montrons par récurrence u2(p+1) -10p.
démontrer cette propriété par récurrence ne se fait pas ; il faut donc chercher autre chose.
Par ailleurs, quand une initialisation est fausse, ça ne sert à rien de se lancer dans l'hérédité.
Et ensuite, tu n'as pas calculé u_{2^{0+1}} mais seulement 2^{0+1}.
Et la suite n'a aucun intérêt.

Essaye de comprendre mon message d'hier à 18h49 au lieu d'écrire des choses qui n'aboutissent pas.

Posté par
foq
re : Les suites 29-12-21 à 19:26

Bonsoir

b. Justifier que n0   2p.

Grace a la question précédant on sait que  pour tout n n0, Un -10p   .
De ce là on peut voir que u_{2^{p}}%20\leq%20-(10^{p})  , Ce qui est équivalent à \; - u_{2^{p}} \geq 10^{p} . .

Enfin , On va démontrer par récurrence que  \; 4^{(2^{p})} \geq 10^p   pour p 1. La question 4)b) nous donne l'expression de Un . Ce qui vaut a démontrer que  - u_{2^{p}} \geq 10^{p} . .

Après , j'écris votre votre récurrence .

Posté par
Sylvieg Moderateur
re : Les suites 30-12-21 à 08:29

Bonjour,
Les 1ères lignes ne servent pas à grand chose et ne sont pas assez précises :

Citation :
Grace a la question précédant on sait qu'il existe n0 tel que pour tout n n0, Un -10p .
On veut démontrer que u_{2^{p}}%20\leq%20-(10^{p}) , Ce qui est équivalent à \; - u_{2^{p}} \geq 10^{p} . .

Posté par
foq
re : Les suites 30-12-21 à 11:39

D'accord , Merci de votre aide .

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