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les suites et limites

Posté par
Nelcar
10-10-20 à 19:06

Bonjour,
Voici mon exercice
soit (un) la suite définie pour tout entier naturel n par u0=0 et un+1= un² +1

1) Montrer que pour tout n 4, un2n
2) en déduire la limite de la suite (un)

voici ce que j'ai fait :
n=4  u0=0
u424   u416
un2n
n4     un2n
si n = 4   Un24        un16
comme 4<16 l'inégalité de l'énoncé est vrai pour n=4
soit n4  suppçosons que un16 et montrons que un+1= 4n² +1
un+1 256+1   un+1 257
On a montré par récurrence que pour tout entier naturel n4 , un16
un+1un pour tout n     on conclut que la suite un est croissante
lim  un  = + infini
n+infii
MERCI

Posté par
Zormuche
re : les suites et limites 10-10-20 à 19:10

Bonsoir

ton raisonnement par récurrence est incompréhensible, il y a juste une suite d'inégalités sans lien les unes avec les autres et aucune quantification des variables utilisées

reprenons : pour l'initialisation, tu dois calculer u_4 à la main et vérifier que c'est plus grand que 2^4=16

Posté par
Nelcar
re : les suites et limites 10-10-20 à 19:59

Bonsoir,
ben c'est ce que j'ai mis , enfin moi j'ai mis au lieu =
et après que faut-il que je fasse ?
Je suis perdu, je galère avec les suites
MERCI

Posté par
Zormuche
re : les suites et limites 10-10-20 à 20:10

je ne vois aucune trace du calcul de u4, ni même sa valeur, donc je ne sais pas comment tu as pu montrer que u4 est plus grand que 16

Posté par
Nelcar
re : les suites et limites 10-10-20 à 21:27

je prend u4=4   donc u4=24=16
comme dans l'énoncé au dit que n>=4 j'ai donc u4>=16
maintenant je suis perdu.
MERCI

Posté par
Zormuche
re : les suites et limites 10-10-20 à 21:30

tu prends u_4=4 donc u_4=16 ? aucune de ces égalités n'est vraie, les seules qui sont vraies et que tu dois utiliser pour calculer  u_4  sont

u_0=0   et   u_{n+1}={u_n}^2+1

Posté par
Nelcar
re : les suites et limites 10-10-20 à 22:04

je me suis trompé ce n'est pas u4 mais n=4
u0=0  je ne sais plus quoi faire
on a un2n
(2n)² +1
je ne sais plus quoi faire
je galère énormément
si vous pourriez m'expliquer un peu
Merci

Posté par
Zormuche
re : les suites et limites 10-10-20 à 22:07

la suite est définie par récurrence, donc avec u0, on calcule u1
puis avec u1 on calcule u2
puis avec u2 on calcule u3
puis avec u3 on calcule u4

Posté par
Nelcar
re : les suites et limites 10-10-20 à 22:24

donc est-ce
u1=u0²+1=1
u2=u1²+1 = 2
u3= u2²+1=3
est ce bon. Si oui après que dois-je faire donc
MERCI

Posté par
Nelcar
re : les suites et limites 10-10-20 à 22:48

je me suis trompé à u3= 2²+1= 5
j'ai oublié
u4=u3²+1=5²+1= 26
u416
est ce bon
et que faire après
MERCI

Posté par
Zormuche
re : les suites et limites 10-10-20 à 22:54

Oui, l'initialisation est bonne
tu as montré que pour n=4, on a bien u_n\ge 2^n

Maintenant, supposons que pour un n\ge 4 quelconque, on a  u_n\ge 2^n (c'est l'hypothèse de récurrence)
Tu dois montrer que u_{n+1}\ge 2^{n+1}  en utilisant l'hypothèse de récurrence

Posté par
Nelcar
re : les suites et limites 11-10-20 à 09:21

bonjour
donc :
soit 4 supposons que un2n alors
un+1)=un²+1(2n)²+12n
attention l'énoncé donne un+1=nn²+1
mais pas sur du tout, c'est du mal
MERCI

Posté par
Nelcar
re : les suites et limites 11-10-20 à 10:06

re
donc la propriété est vraie au rang n+1;elle est donc héréditaire.D'après l'axiome de récurrence, la propriété est vraie pour tout n∈N. Pour tout n∈N,, un2n
Merci pour ta réponse

Posté par
Nelcar
re : les suites et limites 11-10-20 à 19:46

Bonjour,
tout à l'heure j'ai refait ceci :
soit n4 supposons que un2n
(un22n
(un)² +122n+1

un² +122n+12n

donc un+12n
limites
un+1-un= un²+1-un

lim  (un)  = + infini
n +infini

MERCI

Posté par
Nelcar
re : les suites et limites 12-10-20 à 14:18

Bonjour,
Pas eu de réponse ?
MERCI



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