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Les suites extraites

Posté par
Milka3 02-03-21 à 15:38

Bonjour,
je bloque sur un exercice où je dois montrer les assertions suivantes :
1) (u_{(2k)^2}) est extrait de (u_{2p})
2) (u_{(2k)^2}) est extrait de (u_{q^2})
3) (u_{(2k+1)^2}) est extrait de (u_{2p})
4) (u_{(2k+1)^2}) est extrait de (u_{q^2})

Je pense y arriver pour 1,2 et 3. Je bloque sur le 4, pouvez-vous m'aider ?
Voici l'état de mon travail :
1) \large u_{(2k)^2}=u_{\varphi(2k)} avec \varphi : k\mapsto k^2

2) \large u_{(2k)^2}=u_{\varphi(k^2)} avec \varphi : k\mapsto 4k

3) \large u_{(2k+1)^2}=u_{\varphi(2k)} avec \varphi : k\mapsto k^2

4) ???

D'avance merci.

Posté par
Zormuchere : Les suites extraites 02-03-21 à 15:52

Bonjour

une extraction de  p\mapsto u_{2p}  n'est pas  u_{\varphi(2p)}  mais  u_{2\varphi(p)}

Posté par
GBZMre : Les suites extraites 02-03-21 à 15:53

Bonjour,

Hum hum... tu te mélanges un peu les pinceaux.
Pour rester terre à terre :

1) (2k)^2 peut-il se mettre sous la forme 2p pour un certain p dépendant de k. Autrement dit, a-t-on une fonction \varphi des entiers dans les entiers (strictement croissante) telle que (2k)^2= 2\varphi(k) ?

Je te laisse traiter les questions suivantes de cette façon.

Posté par
Zormuchere : Les suites extraites 02-03-21 à 15:53

tu peux regarder les premiers termes de chaque suite pour te donner une idée de la réponse a priori

Posté par
Milka3re : Les suites extraites 02-03-21 à 16:32

Ah ! Ok !
Reprenons.
1)  \large u_{(2k)^2}=u_{2\varphi(k)} avec \varphi : k\mapsto 2k^2
2)  \large u_{(2k)^2}=u_{(\varphi(k))^2} avec \varphi : k\mapsto 2k
3)  \large u_{(2k+1)^2}=u_{2\varphi(k)+1} avec \varphi : k\mapsto 2k^2+2k
4)  \large u_{(2k+1)^2}=u_{(\varphi(k))^2} avec \varphi : k\mapsto 2k+1


Je pense que cette fois ça fonctionne ?

Posté par
Zormuchere : Les suites extraites 02-03-21 à 16:48

Pas la 3)... Applique le conseil que je t'ai donné dans mon dernier message

Posté par
Zormuchere : Les suites extraites 02-03-21 à 16:49

Tu as écrit u_(2phi(k)+1) mais ce qu'on cherche est u_(2phi(k))
Le +1 n'a pas de raison d'être là

Posté par
Milka3re : Les suites extraites 05-03-21 à 22:59

Bonsoir Zormuche,
il y avait une erreur dans mon énoncé.  Il fallait vérifier que la suite (u_{(2k+1)^2}) est extrait de la suite (u_{2p+1}). Alors j'écris :

\large u_{(2k+1)^2} = u_{2\varphi(k)+1} où \large \varphi(k)=2k^2+k

En fait, je m'aperçois que la suite (u_{(2k+1)^2}) ne peut être extrait de la suite (u_{2p}) car je ne peux former l'égalité

\large u_{(2k+1)^2} = u_{2\varphi(k)} où \large est une application de N dans lui-même.

Me trompe-je ?

Posté par
Zormuchere : Les suites extraites 06-03-21 à 00:08

c'est ça, mais pour montrer que c'est faux, un contre-exemple suffit
trouve un terme de la suite de gauche qui n'appartient pas à la suite de droite

Posté par
Milka3re : Les suites extraites 06-03-21 à 09:39

Je vais donc montrer que la suite \large (u_{(2k+1)^2}) n'est pas extraite de la suite \large (u_{2p}).
On sait qu'une suite extraite est une sélection de termes à l'intérieur de la suite en question.
Or, ici, pour k=0, on a \large u_{(2k+1)^2}=u_1 et il n'est pas possible de trouver d'entier p tq. 2p=1.

L'affirmation est donc fausse.


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