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Les suites sujet 1 ex 4 A

Posté par
Nelcar 28-03-21 à 11:19

Bonjour
donc dans le sujet 1 l'exercice 4 est au choix donc je commence par le A
la suite (un) est définie sur pour u o=1 et pour tout entier naturel n,
un+1=3/4un+1/4n+1
1) Calculer, en détaillant les calculs, u1 et u2 sous forme de fraction irréductible
L'extrait reproduit ci-contre, d'une feuille de calcul réalisée avec un tableur présente les valeurs des premiers termes de la suite (un).
2 a) quelle formule, étirée ensuite vers le bas, peut-on écrire dans la cellule B3 de la feuille de calcul pour obtenir les termes successifs d (un) dans la colonne B3
b) Conjecturer le sens de variation de la suite (un)
3a) Démontrer par récurrence que, pour tout entier n, on a : nunn+1
b) en déduire, en justifiant la réponse, le sens de variation et la limite de la suite (un)
c) démontrer que :
lim    un/n=1
n+
4) On désigne par (vn) la suite définie sur par vn=un-n
a) Démontrer que la suite (vn) est géométrique de raison 3/4
b) En déduire que, pour tout entier naturel n, on a : un=(3/4)n + n

Voici ce que j'ai essayé de faire mais j'ai du mal avec les suites
1)n= 0     u0+1 = 3/4u0+1/40+1=3/4*1+0+1
u1= 7/4
u2=10,25/4
2)a) B3=3/4*B2+1/4*A2+1
b) la suite est crissante donc un+1un
3a)nunn+1
on appelle P(n) la propriété nunn+1
-initialisation
n0=1  u0=1  donc u0[smb]supegal[/smb]1 donc P(0) est vraie
-hérédité
on suppose que P(k) est vraie, c'est-à-dire que ukk a-t-on alors P(k+1) vraie aussi. c'est-à-dire uk+1k+1 ?
P(k) est vraie alors ukk*donc 3/4 uk3/4k
d'où 3/4uk+1/4 k+13/4k+1/4k+1
donc uk+1k+1
or 11 donc k+1k+1 donc uk+1k+1
donc P(k+1) est vraie.
-conclusion : pour tout entier naturel n, on a unn et n+1unn
3b) u n+1 - un0 donc la suite un est croissante
Pour tout entier naturel n, on a unn et lim n = + infini donc d'après un
                                                                                            n    
théorème de comparaison                            
lim un = +
n+
c) je ne sais pas le faire
4)a) vn=un-n
v n+1=3/4un+1/4n + 1=3/4un-3/4n
vn+1=3/4(un-n)= 3/4 vn
la suite est géométrique de raison 3/4
b)je calcule le premier terme soit v0=u0-0 = 0
vn=vo*qn
vn=3/4n
vn=un-n
un=vn+n
un=3/4n+n

MERCI

Posté par
heklare : Les suites sujet 1 ex 4 A 28-03-21 à 11:54

u_1=\dfrac{3}{4}u_0+\dfrac{1}{4}\times 0+1=\dfrac{7}{4}  oui

u_2=\dfrac{3}{4}\times \dfrac{7}{4}+\dfrac{1}{4}\times 1+1=\dfrac{21}{16}+\dfrac{5}{4}=\dfrac{41}{16}

Attention vous ne répondez pas à la question  il faut garder l'écriture fractionnaire

2 a  oui en B3 on peut écrire =(3/4)*B2+(1/4)*A2+1

Puisque dans le tableau u_{n+1}>u_n on peut supposer que la suite est croissante

Vous avez confondu cause et conséquence :  c'est parce que je constate  que u_{n+1}>u_n que je peux dire que la suite semble croissante.

Montrons par récurrence que n\leqslant u_n\leqslant n+1  

u_0=1 donc 0\leqslant u_0\leqslant  1 Proposition vraie pour n=0

Supposons que n\leqslant u_n\leqslant n+1  et montrons que cela entraîne   que

n+1\leqslant u_{n+1}\leqslant n+2

u_{n+1}=\dfrac{3}{4}u_n+\dfrac{1}{4}n+1

Appliquons la relation de récurrence

\dfrac{3}{4}n \leqslant \dfrac{3}{4}u_n\leqslant \dfrac{3}{4}(n+1)

\dfrac{3}{4}n+\dfrac{1}{4}n \leqslant u_n+\dfrac{1}{4}n\leqslant \dfrac{3}{4}(n+1)+\dfrac{1}{4} n

en simplifiant

n\leqslant \dfrac{3}{4}u_n+\dfrac{1}{4}n\leqslant n+\dfrac{3}{4}

n+1\leqslant \dfrac{3}{4}u_n+\dfrac{1}{4}n+1\leqslant n+\dfrac{3}{4}+1\leqslant n+2

On a bien montré que P(n)\Rightarrow P(n+1)  donc la proposition est vraie pour tout n

Vous avez basé votre démonstration sur une hypothèse dont on ne connaît pas la véracité

Posté par
heklare : Les suites sujet 1 ex 4 A 28-03-21 à 12:22

n+1-n\leqslant u_{n+1}-u_n\leqslant n+2-(n+1)

1\leqslant u_{n+1}-u_n \leqslant 1

Il en résulte que u_{n+1}-u_n \geqslant 0 donc la suite (u_n) est croissante

\displaystyle \lim u_n=+\infty  car encadrée par deux suites tendant vers +\infty

th des gendarmes plutôt que de comparaison

On a montré que n\leqslant u_n\leqslant n+1

Divisons les inégalités par n

1\leqslant \dfrac{u_n}{n}\leqslant 1+\dfrac{1}{n}

\displaystyle  \lim _{n\to +\infty}1=1\quad \lim_{n\to +\infty}1+\dfrac{1}{n}=1

\dfrac{u_n}{n} étant encadré par deux suites tendant vers 1 par conséquent

\displaystyle \lim_{n\to +\infty}\dfrac{u_n}{n}=1

4) v_{n+1}= u_{n+1}-(n+1)=\dfrac{3}{4}u_n+\dfrac{1}{4}n+1-n-1=\dfrac{3}{4}u_n-\dfrac{3}{4}n=\dfrac{3}{4}\left(u_n-n\right)=\dfrac{3}{4}v_n

la suite (v_n) est géométrique de raison \dfrac{3}{4} et de premier terme v_0=u_0-0=1

Attention u_0=1  ce qui a entraîné une contradiction, car à la ligne d'après vous avez écrit v_0=1

Remarque une suite géométrique  dont le premier terme est nul est la suite identiquement nulle tous les termes valent 0.

On en déduit que v_n=1\times \left(\dfrac{3}{4}\right)^n et par suite u_n= \left(\dfrac{3}{4}\right)^n+n

Posté par
Nelcarre : Les suites sujet 1 ex 4 A 28-03-21 à 12:52

Pour la question 3 j'ai du mal avec ça
3) je ne suis pas partie de l'encadrement donc....et je ne sais plus faire tout ce que tu as mis, il va falloir que je retravaille sérieusement ce chapitre (que je n'ai jamais aimé)
4)ok

MERCI

Posté par
heklare : Les suites sujet 1 ex 4 A 28-03-21 à 13:08

Pour la relation de récurrence si je comprends bien, vous n'en avez fait que la moitié  : vous avez montré que si u_k \geqslant k alors u_{k+1}\geqslant k+1

il restait à vérifier que si u_k\leqslant k+1 alors u_{k+1}\leqslant k+2

Au lieu de le faire séparément, c'est fait en bloc sinon c'est identique  

Posté par
Nelcarre : Les suites sujet 1 ex 4 A 28-03-21 à 14:12

oui c'est sûr mais je ne sais plus trop comment on fait, il faut que je reprennent tout ça sérieusement.

MERCI

Posté par
heklare : Les suites sujet 1 ex 4 A 28-03-21 à 14:19

Le seul problème est que vous n'en avez fait que la moitié
Ce n'est pas gênant de distinguer les différentes inégalités
par conséquent, ne dites pas que vous ne savez pas faire.

Posté par
Nelcarre : Les suites sujet 1 ex 4 A 28-03-21 à 14:44

OK mais pour moi ce n'est pas très clair dans ma tête
il faut que je revoie ce chapitre

MERCI BEAUCOUP

Posté par
heklare : Les suites sujet 1 ex 4 A 28-03-21 à 14:54

Je réitère ce que j'ai déjà dit
Prenez davantage confiance en vous. Vous savez  résoudre certains problèmes, alors faites-le.
Si vous avez une méthode pour tel exercice, essayez-la. On ne vous demande pas la solution la plus élégante.

Posté par
Nelcarre : Les suites sujet 1 ex 4 A 28-03-21 à 15:33

C'est gentil de m'encourager.

MERCI


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