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Niveau seconde
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les vecteurs

Posté par
gabno
24-02-21 à 11:02

Bonjour, j'aurai besoin d'aide pour cet exercice sur les vecteurs, merci

Vecteurs :
Le plan est muni d'un repère orthonormé (O; I; J).
1. Graphique :
a) Construire le repère orthonormé avec 2cm pour 1 unité.
b) Placer trois points A, B, et C au hasard (mais le triangle ABC doit être
quelconque).
c) Écrire les coordonnées exactes de vos points.
2. Parallélogramme :
a) Calculer les coordonnées du point I milieu de [AC].
b) Trouver les coordonnées du point D(xD; yD) tel que le quadrilatère ABCD
soit un parallélogramme.
c) Tracer ce parallélogramme ABCD, ses diagonales et le point I.
3. Calculer des longueurs :
a) Calculer les longueurs des 4 côtés (AB, BC, CD et DA).
b) Calculer les longueurs des diagonales (AC et BD).
4. Conjecture :
a) Calculer la somme des carrés des côtés, puis la somme des carrés des
diagonales.
b) Que remarquez-vous ? Argumentez sur cette observation pour établir une
conjecture. Proposer une utilisation de Geogebra pour appuyer votre conjecture.
Indications :
Somme des carrés des côtés = AB² + BC² + CD² + DA²
et
Somme des carrés des diagonales = AC² + BD²

Posté par
sanantonio312
re : les vecteurs 24-02-21 à 11:13

Bonjour,
Où en es-tu?
Quels points as-tu choisis?

Posté par
gabno
re : les vecteurs 24-02-21 à 11:23

voici où j'en suis :
1. Graphique : a, b
c. Les coordonnées exactes des points sont :
- A : (1;1)
- B : (2;2)
- C : (3;0)

les vecteurs

Posté par
sanantonio312
re : les vecteurs 24-02-21 à 11:28

Que proposes-tu pour calculer les coordonnées de I?

Posté par
gabno
re : les vecteurs 24-02-21 à 11:42

c) Calculer les coordonnées du point I milieu de [AC].

A(1;1) et C(3;0)
On a xI = 1 + 3 /2 = 2 et yI = 1 + 0 /2 = 0,5
Par conséquent I (2; 0,5).

Posté par
sanantonio312
re : les vecteurs 24-02-21 à 11:45

Oui.
Maintenant que tu as ces cordonnées du milieu d'une diagonale, quelle propriété des parallélogrammes penses-tu utiliser pour déterminer les coordonnées du point D?

Posté par
gabno
re : les vecteurs 24-02-21 à 12:04

Les diagonales [AC] et [BD] d'un parallélogramme ABCD se coupent en leur milieu.

Posté par
sanantonio312
re : les vecteurs 24-02-21 à 16:50

Oui. I est donc aussi le milieu de ...???

Posté par
gabno
re : les vecteurs 24-02-21 à 22:48

I est donc aussi le milieu de [AC]

Posté par
sanantonio312
re : les vecteurs 24-02-21 à 23:07

Non. Ça,  c'est la définition de I:

Citation :
a) Calculer les coordonnées du point I milieu de [AC].

Ce que je te demande de trouver, ABCD étant un parallélogramme,  c'est de quoi d'autre I est-il le milieu?

Posté par
gabno
re : les vecteurs 25-02-21 à 11:21

ok,
I est donc aussi le milieu de [BD]

Posté par
sanantonio312
re : les vecteurs 25-02-21 à 11:54

Oui.
Et donc, il existe deux vecteurs égaux.
Cette égalité devrait te permettre de trouver les coordonnées de D

Posté par
gabno
re : les vecteurs 26-02-21 à 09:38

D'accord,
b) Soit I le milieu commun des diagonales [AC] et [BD] du parallélogramme ABCD.

I étant aussi le milieu de la diagonale [BD], on a :
xI = xB + xD /2      et    yI = yB + yD /2
2 = 2 + xD /2            0,5 = 2 + yD /2
4 = 2 + xD                 1 = 2 + xD
4 - 2 = xD                 1 - 2 = yD
     2 = xD                     -1 = yD

Les coordonnées de D tel que ABCD soit un parallélogramme sont (2 ; −1).

Posté par
gabno
re : les vecteurs 26-02-21 à 10:43

En attendant la correction du b, j'ai continué la suite.

c) Voir le graphique (j'ai placé le point D sur le 2 abcisse et -1 ordonnée)

3. Calculer des longueurs :

a) Calculer les longueurs des 4 côtés (AB, BC, CD et DA) :

A(1;1) B(2;2) C(3;0) D(2; -1)

AB² = (2-1)² + (2-1)²
AB² = 1² + 1² = 1 + 1 = 2
AB = √2

BC² = (3-2)² + (0-2)²
BC² = 1² + (-2)² = 1 + 4 = 5
BC = √5

CD² = (2-3)² + (-1-0)²
CD² = (-1)² + (-1)² = 1 + 1 = 2
CD = √2

DA² = (1-2)² + (1-(-1))²
DA² = (-1)² + 2² = 1 + 4 = 5
DA = √5

b) Calculer les longueurs des diagonales (AC et BD) :

La diagonale AC :
AC² = AB² + BC²
AC² = 2² + 0,5²
AC² = 4 + 0,25
AC² = 4,25
AC² = √4,25
AC = 2,06
La longueur de la diagonale AC est de 2,06 cm.

La diagonale BD :
BD² = AD² + DC²
BD² = 2² + (-1)²
BD² = 4 + 1
BD² = 5
BD² = √5
BD = 2,24
La longueur de la diagonale BD est de 2,24 cm.

Posté par
sanantonio312
re : les vecteurs 26-02-21 à 12:14

OK pour les longueurs des côtés.
Pas pour les diagonales. Ne confonds pas 0.5 et 5. D'où sort le (-1)² ?
Et même si le résultat était 4.25 ou 5, il n'y a aucune raison d'en calculer une valeur approchée.

Posté par
gabno
re : les vecteurs 26-02-21 à 12:33

La diagonale AC :
AC² = AB² + BC²
AC² = √2² + √5²
AC² = 2 + 5
AC² = 7
AC² = √7
AC = 2,65
La longueur de la diagonale AC est de 2,65 cm.

La diagonale BD :
BD² = AD² + DC²
BD² = √5² + √2²
BD² = 5 + 2
BD² = 7
BD² = √7
BD = 2,65
La longueur de la diagonale BD est de 2,65 cm.

Donc, si j'ai bien compris le résultat 2,65 je supprime c'est inutile ?

Posté par
sanantonio312
re : les vecteurs 26-02-21 à 14:37

Oui, c'est inutile.
Tes calculs sont faux car tu n'es pas dans des triangles rectangles.
Calcule AC et BD comme tu l'as fait pour les côtés du parallélogramme. Avec les coordonnées des extrémités...

Posté par
gabno
re : les vecteurs 26-02-21 à 16:59

D'accord,

A(1;1) B(2;2) C(3;0) D(2; -1)

La diagonale AC :
AC² = (3-1)² + (0-1)²
AC² = 2² + (-1)²
AC² =  4 + 1
AC² = 5
AC = √5

La longueur de la diagonale AC est de  √5 cm.

La diagonale BD :
BD² = (2-2)² + ((-1)-2)²
BD² =  0² + (-3)²
BD² = 0 + 9
BD² = 9
BD² = √9
BD = 3

La longueur de la diagonale BD est de 3 cm.

Posté par
sanantonio312
re : les vecteurs 26-02-21 à 17:16

Oui

Posté par
gabno
re : les vecteurs 26-02-21 à 17:33

Merci

4. Conjecture :

a) Calculer la somme des carrés des côtés :
Somme des carrés des côtés = AB² + BC² + CD² + DA²
                                                    = √2² + √5² + √2² + √5²
                                                    = √14²
                                                    = √196
                                                    = 14

b) Calculer la somme des carrés des diagonales :
Somme des carrés des diagonales = AC² + BD²
                                                               = √5² + 3²
                                                               = √25 + 9
                                                               = 5 + 9
                                                               = 14

Posté par
gabno
re : les vecteurs 26-02-21 à 17:34

b) Je remarque que l'on arrive au même résultat.
(après Proposer une utilisation de Geogebra ? comment mit prendre avec ça pour l'argumentation ?)

Posté par
sanantonio312
re : les vecteurs 26-02-21 à 18:24

Je n'ai jamais pratiqué ce genre de question dans ma scolarité. Le ordinateurs n'existaient pas. Géogébra non plus.
On ne te demande pas une preuve mais un "appui" de ta conjecture.
Tu peux faire ton dessin sur Géogebra.
Évite de mettre un point sur un axe car après il y est lié. Tu ne peux le déplacer que sur l'axe.
Tu crées 3 points
Tu places I le milieu de AC
Tu traces le vecteur \vec{BI}
Tu place un représentant de ce vecteur qui démarre en I
Ça te donne D
Tu calcules le carré des distances et les sommes de l'énoncé.
Tu fais bouger A et/ou B et/ou C et tu constates l'égalité

Posté par
gabno
re : les vecteurs 26-02-21 à 18:46

Merci pour votre réponse sincère mais de mon côté je n'arrive jamais avec Géogébra, serait-il possible d'avoir l'image et puis je la dessinerais moi-même sur une feuille s'il vous plait.

Voici l'argumentation :
b) Je remarque que l'on arrive au même résultat.
On peut dire de l'égalité que la somme des carrés des quatre cotés est égale à la somme des carrés des diagonales, augmentée de quatre fois le carré de la distance entre les milieux des diagonales.

Posté par
gabno
re : les vecteurs 27-02-21 à 11:11

?

Posté par
sanantonio312
re : les vecteurs 27-02-21 à 11:35

Citation :
On peut dire de l'égalité que la somme des carrés des quatre cotés est égale à la somme des carrés des diagonales, augmentée de quatre fois le carré de la distance entre les milieux des diagonales.
Où as-tu entendu parler de
Citation :
quatre fois le carré de la distance entre les milieux des diagonales.

Posté par
gabno
re : les vecteurs 27-02-21 à 12:18

Enfaite je voulais parler des diagonales quand elles sont coupée en leur milieu...donc j'ai compris que ça doit être supprimer.

b) Je remarque que l'on arrive au même résultat.
On peut dire de l'égalité que la somme des carrés des quatre cotés est égale à la somme des carrés des diagonales.

Posté par
sanantonio312
re : les vecteurs 27-02-21 à 15:39

Oui.
Pour Géogébra, je vais demander si quelqu'un en sait plus sur ce qui est attendu...

Posté par
malou Webmaster
re : les vecteurs 27-02-21 à 15:44

Bonjour
personnellement, je ferais afficher à geogebra d'une part la somme AB² + BC² + CD² + DA² et d'autre part la somme AC² + BD² l'une sous l'autre

Posté par
gabno
re : les vecteurs 27-02-21 à 16:10

Merci sanantonio312 pour tout ton aide.

Bonjour malou et merci pour ta présence
comme j'ai dit dans un de mes messages pour géogébra si c'est possible d'avoir l'image et puis je la dessinerais moi-même sur une feuille s'il te plait car j'ai trop de mal à l'utiliser.

Posté par
malou Webmaster
re : les vecteurs 27-02-21 à 16:16

ah ben non...ça marche pas comme ça
si tu refuses sans cesse de l'utiliser, tu ne sauras jamais le faire
en plus je serais ton prof, je demanderais que tu m'envoies le fichier geogebra pour vérifier que tu as tout bien fait

commence par tracer un parallélogramme ABCD dans geogebra
dis moi comment tu t'y prends

Posté par
mathafou Moderateur
re : les vecteurs 27-02-21 à 16:58

Bonjour,

ça ne rime à rien une image sur papier/photo/copie d'écran de la figure Geogebra !
parce que la seule différence entre ta figure (déja faite) et Geogebra est qu'on peut déplacer les points A, B, C à volonté
et que Geogebra déplace I et D (si on les a construits et pas simplement placés) et refait les calculs.

si tu refuses d'utiliser, et même d'essayer d'utiliser, Geogebra tu n'as qu'une seule façon de faire sans :

refaire d'autres figures (plusieurs) sur papier en choisissant d'autres positions pour A, B, C au hasard et refaire les calculs avec chacune de ces autres positions ...
bon courage ...

ça ira plus vite de réussir à utiliser Geogebra : c'est plus facile que de nombreux jeux vidéo ...

Posté par
gabno
re : les vecteurs 27-02-21 à 18:22

Cela ne veut pas dire que je n'ai jamais essayé sinon je ne dirais rien. Justement je l'avoue je n'y arrive pas tout simplement et avoir des réponses à l'écris c'est encore loin de comprendre ( la facilité est du directe là  peut-être ça sera plus facile). Je ne doute pas que avec Geogebra ça ira plus vite  mais bon je vais encore tenter. Je vais déjà commencer par tracer un parallélogramme ABCD comme me l'a proposé malou.
Justement même les jeux vidéos je ne suis pas dessus , ça ne m'intéresse pas puis on est pas tous pareil...

Posté par
gabno
re : les vecteurs 27-02-21 à 18:32

Voici le parallélogramme ABCD (juste une petite chose je n'ai pas pu enlever les lettres qui se sont mit sur la figure "h, i, j ,k ,f et g")

les vecteurs

Posté par
mathafou Moderateur
re : les vecteurs 27-02-21 à 19:16

bien
visiblement tu n'as pas construit ça comme tu l'avais construit à la main sur papier :
choisir trois Points A,B,C (pas 4)
construire le milieu I de BC etc
la construction est exactement la même que la construction à la main.

ce qui est absolument fondamental est que seuls trois points A, B, C sont "libres"
tout le reste doit suivre
et pas placer les 4  sommets de ce qu'on croit être un parallélogramme
(les 4 points libres)

parce que l'intérêt de Geogebra n'est certainement pas de refaire la même figure avec les points au même endroit que la figure sur papier !
(aucun intérêt à part vérifier ses calculs numériques)

mais de déplacer à volonté les points A, B, C pour vérifier la conjecture dans plusieurs cas
si D ne suit pas automatiquement (car D a été construit et pas placé) pour que ça donne toujours un parallélogramme, c'est raté.

pour enlever les noms des segments, accéder à leurs propriétés et "cacher l'étiquette".
tant qu'à faire les renommer en AB, BC etc

Posté par
mathafou Moderateur
re : les vecteurs 27-02-21 à 19:30

une copie d'écran de ce que l'on peut avoir
en affichant en plus le protocole de construction

les vecteurs
(l'aspect et la disposition varie selon les versions de Geogebra)

Posté par
gabno
re : les vecteurs 27-02-21 à 20:24

D'accord, merci beaucoup mathafou, je vois mieux et je comprend ce que tu veux dire au niveau du  protocole de construction.

Posté par
mathafou Moderateur
re : les vecteurs 27-02-21 à 21:05

et le résultat c'est d'observer (conjecture) les valeurs affichées de AB²+BC²+CD²+AD² par rapport à celles de AC²+BD² quand on déplace les points A, B, C
(ou la différence (AB²+BC²+CD²+AD²) - (AC²+BD²))

une petite animation (sur le fichier Geogebra précédent) :

les vecteurs

déplacer les points à la main suffira dans l'exo !

Posté par
gabno
re : les vecteurs 27-02-21 à 21:34

Merci beaucoup mathafou
Si j'en fait 3 de dessin à chaque déplacement  des points ça ira ?

Posté par
mathafou Moderateur
re : les vecteurs 27-02-21 à 22:34

ça me semble raisonnable de "conserver" 3 positions

mais en fait tu en fais réellement des dizaines en un rien de temps vu que le simple déplacement d'un point quelconque A, B ou C à la souris se fait en une fraction de seconde et c'est Geogebra qui fait tout le boulot pour suivre ce déplacement et recalculer tout.

au besoin tu pourras même en "fournir" une quasi infinité : le fichier Geogebra lui-même !

malou @ 27-02-2021 à 16:16

...
en plus je serais ton prof, je demanderais que tu m'envoies le fichier geogebra pour vérifier que tu as tout bien fait


Posté par
gabno
re : les vecteurs 27-02-21 à 23:05

d'accord, merci



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