Niveau terminale

Levée d'indétermination pour une limite

Posté par Twist3r (invité) 21-05-06 à 04:02

Salut, je bloque sur un calcul de limite, je n'arrive pas à lever l'indétermination.

lim (1) en +OO de (100ⁿ+99ⁿ)
                             (100ⁿ-99ⁿ)

En factorisant par 100ⁿ je tombe sur ça :

                1+(99/100)ⁿ
                 1-(99/100)ⁿ

Je sais que lim en +OO de (99/100)ⁿ = 0 mais je n'arrive pas à le démontrer, donc la limite de la fonction (1) serait 1.
J'ai aussi essayé en multipliant par le conjugué du dénominateur mais je tombe toujours sur une forme indéterminée.
En vous remerciant d'avance pour vos suggestions.

Posté par re : Levée d'indétermination pour une limite 21-05-06 à 04:05

Bonjour,

Ta méthode et ta conclusion sont bonnes.
Normalement, tu as dû voir en cours que $\lim_{n\to +\infty}a^n=0$ si $|a|<1$ .

Nicolas

Posté par re : Levée d'indétermination pour une limite 21-05-06 à 05:28

Propriété. Soit un réel $a$ tel que $0<|a|<1$ . On a :
$\fbox{\lim_{n\to +\infty}a^n=0}$

Démonstration
Puisque $-|a|^n\le a^n\le |a|^n$ , il suffit de montrer que $\lim_{n\to +\infty}|a|^n=0$

Méthode 1, par les logarithmes

On veut montrer que :
$\forall \vareps>0,\;\exists N\in\mathbb{N},\;\forall n\ge N,\;|a|^n\le\vareps$
Soit $\vareps>0$ .
On remarque que : $|a|^n\le\vareps\Longleftrightarrow n\ge\frac{\ln\vareps}{\ln|a|}$
Donc il suffit de prendre $N=E\left(\frac{\ln\vareps}{\ln|a|}\right)+1$
où $E$ désigne la partie entière.

Méthode 2, par l'absurde

$\left(|a|^n\right)_{n\ge 0}$ est une suite positive décroissante.
Elle tend donc vers une limite $\ell\ge 0$
On veut montrer que $\ell=0$ . Raisonnons par l'absurde et supposons $\ell>0$

On a :
$\forall \vareps>0,\;\exists N\in\mathbb{N},\;\forall n\ge N,\;\ell\le |a|^n<\ell+\vareps\quad (*)$
On choisit $\vareps=\ell\left(\frac{1}{|a|}-1\right)$
En ne considérant que $N$ , on a : $\ell\le|a|^N<\ell+\vareps$
On multiplie par $|a|$ : $|a|^{N+1}<(\ell+\vareps)|a|$
On remplace $\vareps$ par son expression :
$|a|^{N+1}<\ell|a|+\ell\left(\frac{1}{|a|}-1\right)|a|$
Après simplification du membre de droite :
$|a|^{N+1}<\ell$
ce qui est contradictoire avec (*). Absurde

Il existe probablement encore d'autres méthodes !

Nicolas

Posté par Twist3r (invité)re : Levée d'indétermination pour une limite 22-05-06 à 10:06

Merci pour cette démonstration, je devrais mieux connaître la liste des limites usuelles.

Posté par re : Levée d'indétermination pour une limite 22-05-06 à 13:08

Je t'en prie.

Posté par re:Levee d'indetermination pour une limite 22-05-06 à 13:17

$-1<a<1 et a\neq 0,|a|=\frac{1}{1+b},b>0donc |a^n|=\frac{1}{(1+b)^n}\le\frac{1}{1+nb}-->0$

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