salut

par définition une intersection de deux ensembles est incluse dans ces deux ensembles : elle est donc bien "plus petite" que chacun de ces deux ensembles ...

Ah oui effectivement ...
Et réciproquement, pourquoi le plus petit est l'intersection de tous les autres ?

Bonjour,

Ça ne marche que pour les propriétés (ce que tu appelles "caractéristiques") de parties qui sont stables par intersection quelconque.
Exemple : être un sous-espace vectoriel, être un sous-groupe, être un fermé.

Si une propriété P est stable par intersection quelconque, alors l'intersection de toutes les parties ayant la propriété P et contenant une partie A donnée
- contient la partie A
- a la propriété P
- est contenue dans toutes les parties ayant la propriété P et contenant A.
C'est donc bien la plus petite partie ayant la propriété P et contenant A.

Par contre ça ne marche pas pour la propriété "être ouvert" dans un espace topologique. Une intersection quelconque d'ouverts n'est pas ouverte en général (même si une intersection finie l'est), et il n'y a pas en général de plus petit ouvert contenant une partie donnée.

Ok, je comprends maintenant, on n'a pas à se soucier de savoir si la propriété est vérifiée après l'intersection car elle l'est par hypothèse. En fait je faisais l'amalgame entre vérifier la propriété et contenir une partie. L'intersection et être plus petit ou non ne repose que sur des considérations ensemblistes (évidemment...).
Merci beaucoup !