Bonjour ,

Merci d'avance.

ABC est un triangle rectangle en A tel que AB=2a et AC=a , a>0.

I désigne le milieu de [AB] et G le barycentre du système {(A, 1) ; (B, -1) ; (C, 1)}

K est le symétrique de C par rapport à A.

1) Faire une figure.

2) Soit (C) l'ensemble des points M du plan tels que : .

a-) Justifier que K (C).

b-) Déterminer et construire (C).

3) Soit H le point du plan défini par .

a-) Démontrer que le point H est le barycentre des points pondérés (A , 3) ; (B , 1) et (C , -2).

b-) Justifier que AHIC est un parallélogramme.

c-) Calculer les distances HA , HB et HC.

4) Pour tout réel k , on désigne par (Ek) l'ensemble des points M du plan tels que : 3MA²+MB²-2MC²=ka².

a-) Pour quelle valeur de k , (Ek) contient il le point C ?

b-) Déterminer et construire l'ensemble  (Γ) des points  tels que : 3MA²+MB²-2MC²=8a².

Réponses

1) G = bar {(A , 1) ; (B, -1) ; (C, 1)}

Donc

.




2-a) M (C)


Soit et

*

G = bar {(A , 1) ; (B, -1) ; (C, 1)}


D'où .

*

1+1-2=0.

Considérons le milieu I de [AB].

.



Donc

D'où M (C) .

Donc et .

On a et

*Déterminons KG et CI.

• KG :

On a K (AC).

Donc le triangle KCG est rectangle en C.

KG²=KC²+CG²

KG=

•CI:

I est le milieu de [AB].

D'après le théorème des médianes , dans le triangle ABC ,

On a AC=a ,



AB=2a.













donc KG=2CI.

D'où

Par conséquent K (C).

b-) M (C)



.

(C) est le cercle de centre G et de rayon ou de rayon GK.

3-a) On a









Donc H=bar {( A , 3) ; (B, 1) ; (C, -2)}

b-) H=bar {( A , 3) ; (B, 1) ; (C, -2)}

D'où

Or I est le milieu de [AB].

Donc



D'où AHIC est un parallélogramme.

c-) AHIC étant un parallélogramme ,

Donc (AC) // (HI).

Or (AC) (AB) car ABC est un triangle rectangle en A.

D'où (HI) (AB) et I est le milieu de [AB].

Par conséquent (HI) est la médiatrice de [AB].

Donc HA=HB puisque H (HI).

Et les triangles HIA et HIB sont rectangles et isocèles en I car CA=AK=AI=IH=IB.

On a donc

Soit J le centre de AHIC.

J est alors le milieu de [AI] et de [HC].

Donc HC=HJ+JC et

Donc





Donc

On a donc et

4-a) M (Ek)

On a

Donc

Il vient

(Ek) contient le point C pour

b-) G=bar {( A, 3) ; (B, 1) ; (C, -2)}

M du plan ;

(Γ)



*Déterminer GA , GB et GC.

• On a GA=BC= car .

• donc ABCG est un parallélogramme.

Soit O son milieu ; on a : GO+OB=GB avec GO=OB.

O (AC) donc le triangle AOB est rectangle en A.

On a donc :

Donc

•GC=AB=2a

D'où M (Γ)





(Impossible)

Or (Ek) contient C pour tout point M du plan tels que avec

Je ne comprends plus rien là..