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limite (2)

Posté par
Devoirs33 18-05-23 à 19:47

Bonjour,
J'aimerais de l'aide concernant cet exercice s'il vous plaît,merci.

On considère un lieu dont la température T  est constamment à 0°C, la vitesse de refroidissement d'un feutre est proportionnelle à T de cet objet. Dans ce lieu dont T = 0°C, un feutre chauffé à 100°C voit sa T chuter à 45°C en 10 mn.
On considère T(t) la température en °C du feutre après t mn.
1. Montre l'équation différentielle vérifiée par la fonction T.
Détermine la fonction T solution.

T'(t) = a (T-0)
T' = a.T a pour solution T(t) = C.e^a.t
T(t) =0
T(t) = 0 + C.e^a.t
A t = 10, on a T = 45°C


2. En combien de temps, T de cet objet atteindra les 25°C? Arrondir à la minute.

25 = 20 + 80e^(-tln(2/10))
-tln(2)/10 = -ln(16) = -4ln(2)
t = 40 min ?

Posté par
Pirhore : limite (2) 18-05-23 à 22:18

Bonjour,

en partant de T(t) = C\,e^{a.t  et en tenant compte de T(0)=100, tu peux déterminer la valeur de a d'où

T(t)=...

ensuite on s'occupera du point 2

Posté par
Pirhore : limite (2) 18-05-23 à 22:46

oups erreur de ma part

Pirho @ 18-05-2023 à 22:18


en partant de T(t) = C\,e^{a.t  et en tenant compte de T(0)=100, tu peux déterminer la valeur de \textcolor{red}{C} ...

Posté par
Devoirs33re : limite (2) 18-05-23 à 22:56

C.e^(a/t) = 100
log ( C.e^(a/t)) = log(100)
C * a/t = log (100)
C = log(100) / a/t
C = log(100) / a * t
C = (log(100) /45) * 10 ?

Posté par
Pirhore : limite (2) 18-05-23 à 23:02

c'est plus simple que ça!

T(t)=C\,e^{at}

pour   t=0,

que vaut e^{at}?

que vaut T(0)?

que vaut C?

Posté par
Devoirs33re : limite (2) 18-05-23 à 23:14

e^a.t = 0
T(0) = C
Donc C = 100

Posté par
Pirhore : limite (2) 18-05-23 à 23:19

oui

d'où T(t)=100\,e^{-at}

pour t=10, T=45° ce qui permet de trouver la valeur de a

Posté par
Devoirs33re : limite (2) 18-05-23 à 23:24

-a = log(45) / 10 = - 0,17

Posté par
Pirhore : limite (2) 18-05-23 à 23:32

petite erreur, tu dois prendre le \ln  et pas le log

45=100 e^(-10 a)

Posté par
Devoirs33re : limite (2) 18-05-23 à 23:36

a = 0,38

Posté par
Pirhore : limite (2) 18-05-23 à 23:37

je ne trouve pas ça, montre un peu ton calcul

Posté par
Devoirs33re : limite (2) 18-05-23 à 23:44

ln(45) = ln(100.e^-10.a)
ln(45) / 10 = a
0,38 = a

Posté par
Pirhore : limite (2) 18-05-23 à 23:51

ce que tu écris est faux!

\ln(100)\ne 10

45=100\, e^{-10 a}

\ln(\dfrac{45}{100})=-10\, a

Posté par
Devoirs33re : limite (2) 18-05-23 à 23:53

a = 9,20

Posté par
Devoirs33re : limite (2) 18-05-23 à 23:55

T(t) = 100.e^(-9,20.t)

Posté par
Pirhore : limite (2) 19-05-23 à 00:05

attention! encore une erreur de ma part, j'ai mal recopié, voir mon post de 23h02 (il est temps que j'aille me coucher !!)

on part de 45 =100\, e^{10\,a}

\ln(\dfrac{45}{100})=10\, a

a=?

Posté par
Devoirs33re : limite (2) 19-05-23 à 00:07

ln(45/100) / 100
a = - 0,008

Posté par
Pirhore : limite (2) 19-05-23 à 00:11

Devoirs33 @ 19-05-2023 à 00:07

ln(45/100) / 10

a = - 0,008


il y a un 0 en trop

Posté par
Pirhore : limite (2) 19-05-23 à 00:23

donc finalement, on a

\large T(t)=100\, e^{-0.08\,t}

Posté par
Devoirs33re : limite (2) 19-05-23 à 13:02

2) 100.e^-0,08.t = 25
ln 100.e^-0,08.t = ln 25
0,08. t = ln 25
t = ln 25 / 0,08 = 40,23

Posté par
Pirhore : limite (2) 19-05-23 à 13:20

ta 2ème ligne est mal écrite, c'est

\ln(100\,e^{-0.08\,t})=\ln(25)

les lignes suivantes sont fausses!

Posté par
Devoirs33re : limite (2) 19-05-23 à 13:22

j'ai oublié le -
c'est - 0,08. t = ln (25 )

Posté par
Pirhore : limite (2) 19-05-23 à 13:26

non!

\ln(a\times b)=\ln(a)+\ln(b)

Posté par
Devoirs33re : limite (2) 19-05-23 à 14:22

t = ln(25) + ln(0,08)

Posté par
Pirhore : limite (2) 19-05-23 à 16:27

non!

que vaut \ln(e^{-x})?

d'où

\ln(100)+\ln(e^{-0.08t})=?

Posté par
Devoirs33re : limite (2) 19-05-23 à 16:40

ln(e^-x) = -x
ln(100) + ln(-0,08.t)
t = ln(100) / ln(-0,08)

Posté par
Pirhore : limite (2) 19-05-23 à 16:44

la 1ère ligne est juste

mais la ligne suivante est fausse ; tu appliques mal ce que tu sembles connaître ici ln(e^-x) = -x

Posté par
Devoirs33re : limite (2) 19-05-23 à 18:40

ln(100) - 0,08.t = 0
t = 25* ln(10)

Posté par
Pirhore : limite (2) 19-05-23 à 18:48

excuse-moi mais c'est un peu n'importe quoi!

\ln(100)+\ln(e^{-0.08t})=\ln(25)

\ln(e^{-0.08t})=\ln(25)-\ln(100})

à toi!

P.S. : quand tu auras trouvé je donnerai "ma" résolution  

Posté par
Devoirs33re : limite (2) 19-05-23 à 18:55

où est passé le ln(25) alors ?

t = ln(25) - ln(100) / -0,08 = 17,32

Posté par
Pirhore : limite (2) 19-05-23 à 19:00

Citation :
où est passé le ln(25) alors ?


je ne comprends pas ta question, as-tu pas bien lu mon post de 18h48?

\ln(100)+\ln(e^{-0.08t})=\textcolor{red}{\ln(25)}

Posté par
Devoirs33re : limite (2) 19-05-23 à 19:07

ln(e^x) = x
donc ln(e^-0,08.t) = -0,08.t

Posté par
Pirhore : limite (2) 19-05-23 à 19:15

ben oui c'est correct mais je ne comprends toujours pas l'histoire du \ln(25)

soit , ta réponse t = (ln(25) - ln(100)) / -0,08 = 17,32 est correcte sous réserve :

1°) d'ajouter les parenthèses indispensables au numérateur

2°) que l'on demande, dans l'énoncé, d'arrondir t à la minute

Posté par
Devoirs33re : limite (2) 19-05-23 à 19:19

Je ne comprends pas ce que vous voulez dire.
t est déjà en minutes puisque j'ai utilisé 10 minutes dans la formule

Posté par
Pirhore : limite (2) 19-05-23 à 19:22

tu trouves que t=17.32 min est arrondi à la minute  

Posté par
Devoirs33re : limite (2) 19-05-23 à 19:23

t = 18 min

Posté par
Devoirs33re : limite (2) 19-05-23 à 19:23

je me suis trompé

Posté par
Pirhore : limite (2) 19-05-23 à 19:32

moi je dirais plutôt 17 min

je te donne ma résolution

100\,e^{-0.08\,t}=25

e^{-0.08\,t}=\dfrac{25}{100}

e^{0.08\,t}=\dfrac{100}{25}

e^{0.08\,t}=4

\ln(e^{0.08\,t})=\ln(4)

0.08\,t=\ln(4)

t=\dfrac{ln(4)}{0.08}

on peut évidemment arriver plus rapidement au résultat en sautant des lignes dans le développement

Posté par
Devoirs33re : limite (2) 19-05-23 à 19:41

D'accord, merci pour votre aide.

Posté par
Pirhore : limite (2) 19-05-23 à 19:43

de rien

si je puis me permettre ; tu devrais un peu revoir la matière concernant les logarithmes


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