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Limite

Posté par Profil Ramanujan 12-03-19 à 23:22

Soient a,b \in \R^{+*}

J'ai démontré que : \lim\limits_{x \rightarrow +\infty} \dfrac{(\ln(x))^b}{x^a} = 0

Je n'arrive pas à en déduire la suivante : \lim\limits_{x \rightarrow 0}  x^a |\ln(x)|^b = 0

1/ Je comprends pas pourquoi on est obligé de mettre une valeur absolue sur le log  

J'ai essayé de poser X = \dfrac{1}{x} mais la valeur absolue me gêne

Si x tend vers plus l'infini, X tend vers 0. Mais j'ai donc :

\lim\limits_{x \rightarrow +\infty} \dfrac{(\ln(x))^b}{x^a}  = \lim\limits_{X \rightarrow 0} X^a (-\ln(X))^b}

J'ai pas de valeur absolue...

Posté par
cocolaricottere : Limite 12-03-19 à 23:31

Bonjour

Personne n'oblige le passage à l'utilisation de la valeur absolue ..... sauf l'énoncé !

Comprends tu qu'on te demande de partir d'une hypothèse pour arriver à une conclusion ?

Posté par Profil Ramanujanre : Limite 12-03-19 à 23:45

Pas compris la remarque du livre : "la valeur absolue est indispensable dans la seconde relation car la fonction logarithme est négative sur l'intervalle ]0,1]"

De quelle hypothèse parlez vous ?

Posté par
larrechre : Limite 12-03-19 à 23:46

Bonsoir,

b est un réel positif quelconque, et la fonction u\mapsto u^b n'est définie que pour u>0

Ce qui a été démontré au début (sans valeur absolue) implique évidemment aussi que

\lim\limits_{x \rightarrow +\infty} \dfrac{(|\ln(x)|)^b}{x^a} = 0

et maintenant il est tout a fait loisible faire le changement de variable X=\dfrac{1}{x}, car |\ln(X)| reste positif quand X\to 0

Posté par Profil Ramanujanre : Limite 13-03-19 à 00:11

Merci beaucoup j'ai compris

Au voisinage de + \infty on peut considérer par exemple x>1 et dans ce cas \ln(x) = | \ln(x)| et après on effectue le changement de variable.

J'ai une autre question dans mon livre c'est un mini exo :

Pourquoi a-t-on limité a et b à \R^{+*} ?

Posté par Profil Ramanujanre : Limite 13-03-19 à 00:24

Par exemple si a<0 et b>0 comment calculer mes 2 limites ?

Posté par
larrechre : Limite 13-03-19 à 10:05

Dans ce cas, il n'y a pas d'indétermination, la première limite est clairement + et l'autre aussi.

Posté par Profil Ramanujanre : Limite 13-03-19 à 12:57

Si je pose a' = -a >0 et b>0 on a :

\lim\limits_{x \rightarrow +\infty} \dfrac{(\ln(x))^b}{x^a} = \lim\limits_{x \rightarrow +\infty} x^{a'} (\ln(x))^b

Pour x >1 on a : (\ln(x))^b = \exp (b  \ln (\ln(x))) ce qui par composée, tend vers + \infty
Et x^{a'} tend aussi vers + \infty
Par produit je retrouve votre résultat + \infty

Pour la deuxième :

\lim\limits_{x \rightarrow 0}  x^a |\ln(x)|^b = \lim\limits_{x \rightarrow 0}  \dfrac{|\ln(x)|^b}{x^{a'}}

Le numérateur tend vers + \infty

Je vois pas comment calculer la limite du dénominateur et du quotient

Posté par
lionel52re : Limite 13-03-19 à 13:39

Pas de forme indéterminée.

Posté par Profil Ramanujanre : Limite 13-03-19 à 14:01

Ah d'accord.

Comme b>0
\ \lim\limits_{x \rightarrow 0}  |\ln(x)|^b = \ \lim\limits_{x \rightarrow 0} \exp (b \ln( |\ln(x)|))= + \infty  

Comme a < 0
\ \lim\limits_{x \rightarrow 0}  x^{a} = \ \lim\limits_{x \rightarrow 0} \exp (a \ln(x))= + \infty  
Car au voisinage de 0 :  a \ln(x) \longrightarrow + \infty

Par produit la limite est + \infty . C'est juste ?


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