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Limite

Posté par
Samsco
01-08-20 à 15:49

Bonjour tout le monde,
J'ai besoin de votre aide svp pour cette limie

Exercice :

Calculer la limite de la fonction f quand x tend vers a .

f(x)=\dfrac{ax^n-xa^n}{x-a}

Réponses :

f(x)=\dfrac{ax^n-xa^n}{x-a}=ax*\dfrac{x^{n-1}-a^{n-1}}{x-a}

Je bloque pour la factorisation de x^{n-1}-a^{n-1}

Posté par
Camélia Correcteur
re : Limite 01-08-20 à 15:59

Bonjour

C'est un résultat à connaitre par cœur. Pense à une suite géométrique...

Posté par
Samsco
re : Limite 01-08-20 à 16:05

Oui la somme de n-2 termes d'une suite géométrique s'écrit :

\dfrac{1-q^{n-1}}{1-q}

Où q est la raison de la suite mais je ne vois pas le rapport dans notre cas

Posté par
flight
re : Limite 01-08-20 à 16:26

salut

tu peux toujours aussi appliquer la regle de l'hopital

Posté par
Samsco
re : Limite 01-08-20 à 16:36

flight @ 01-08-2020 à 16:26

salut

tu peux toujours aussi appliquer la regle de l'hopital


Oui ça donne

\lim_{x \to a}\dfrac{x^{n-1}-a^{n-1}}{x-a}=\lim_{x\to a}\dfrac{g(x)-g(a)}{x-a}=g'(a)
 \\ 
 \\ g(x)=x^{n-1}~~et~~g'(x)=(x-1)x^{n-2}
 \\ 
 \\ \lim_{x \to a}\dfrac{x^{n-1}-a^{n-1}}{x-a}=g'(a)=(a-1)a^{n-2}
 \\ 
 \\ \lim_{x \to a}f(x)=(a-1)a^{2+(n-2)}=(a-1)a^n
 \\

Posté par
flight
re : Limite 01-08-20 à 17:08

voila

Posté par
flight
re : Limite 01-08-20 à 17:10

oups ... j'ai été trop rapide  .. je trouve  an(n-1)

Posté par
Samsco
re : Limite 01-08-20 à 17:20

Samsco @ 01-08-2020 à 16:36



\lim_{x \to a}\dfrac{x^{n-1}-a^{n-1}}{x-a}=\lim_{x\to a}\dfrac{g(x)-g(a)}{x-a}=g'(a)
 \\ 
 \\ g(x)=x^{n-1}~~et~~g'(x)=({\red{n}}-1)x^{n-2}
 \\ 
 \\ \lim_{x \to a}\dfrac{x^{n-1}-a^{n-1}}{x-a}=g'(a)=({\red{n}}-1)a^{n-2}
 \\ 
 \\ \lim_{x \to a}f(x)=({\red{n}}-1)a^{2+(n-2)}=({\red{n}}-1)a^n
 \\

Posté par
Samsco
re : Limite 01-08-20 à 17:44

Avec l'autre méthode , qu'est ce que je dois faire

Posté par
Kernelpanic
re : Limite 01-08-20 à 18:27

Bonsoir,

je ne vois pas pourquoi on parle de la règle de l'Hôpital ici ?

Et de quelle autre méthode parles-tu Samsco ? De la factorisation de x^n - a^n ? Si oui, suis le conseil de Camélia... et si tu n'y arrives toujours pas, essaye avec n=2, n=3 ... la formule générale sort par récurrence assez vite.

Bonne soirée.

Posté par
flight
re : Limite 01-08-20 à 19:37

On peut utiliser la regle de l'hopital .. rien ne l'interdit , je vois pas pourquoi" brider" des possibilités ,

avec ta factorisation de depart  , celle donnée dans ton post de depart  ,essaye d'exprimer
ce que vaut xn-1  - an-1 , avec la formule connue pour le developpement de  an - bn    et la réponse tombera immediatement

Posté par
alb12
re : Limite 01-08-20 à 19:37

Salut
f(x) est tout betement un taux d'accroissement

Posté par
Samsco
re : Limite 01-08-20 à 19:40

Pour n=2
x²-a²=(x-a)(x+a)

Pour n=3
x³-a³=(x-a)(x²+ax+a²)

x^n-a^n=(x-a)Q(x)

Où Q(x) est un polynôme de degré n-1

Par contre , je ne vois pas comment conjecturer l'expression de Q(x)

Posté par
Kernelpanic
re : Limite 01-08-20 à 20:25

flight je me suis sûrement mal exprimé : je ne vois pas pourquoi on parle de cette règle étant donné qu'on ne l'a pas appliqué ici, je ne "bride" donc pas les possibilités.

Samsco eh bien fais le cas n=4 et remarque quelque chose sur la somme des puissances d'un terme du style akbm dans la somme facteur de (x-a).
Toutefois comme  le remarque alb12, un simple taux d'accroissement comme tu l'as fait donne le résultat immédiatement.

Posté par
carpediem
re : Limite 01-08-20 à 21:23

salut

flight @ 01-08-2020 à 19:37

On peut utiliser la regle de l'hopital .. rien ne l'interdit , je vois pas pourquoi" brider" des possibilités

certes mais elle n'est pas au programme du lycée .. et on n'en a pas besoin avec

Camélia @ 01-08-2020 à 15:59

C'est un résultat à connaitre par cœur. Pense à une suite géométrique...
en écrivant simplement que x^n - a^n = a^n \left[\left(\dfrac x a \right)^n - 1 \right]  ... pour a non nul bien sur ...

qui est au programme de première ...

Posté par
Samsco
re : Limite 01-08-20 à 22:14

Kernelpanic @ 01-08-2020 à 20:25


Samsco eh bien fais le cas n=4 et remarque quelque chose sur la somme des puissances d'un terme du style akbm


Le problème c'est que je ne sais plus comment factoriser à partir de n=4

Posté par
Kernelpanic
re : Limite 02-08-20 à 00:31

Laisse tomber la récurrence dans ce cas, carpediem t'a donné toutes les cartes dont tu as besoin pour retrouver la formule, suis son indication !

Posté par
Samsco
re : Limite 02-08-20 à 10:30

\dfrac{x^{n-1}-a^{n-1}}{x-a}=a^{n-2}*\dfrac{(x/a)^{n-1}-1}{(x/a)-1}
 \\ 
 \\ \dfrac{x^{n-1}-a^{n-1}}{x-a}=a^{n-2}(1+(x/a)+(x/a)²+......+(x/a)^{n-2})
 \\ 
 \\ f(x)=a^{n-1}x(1+(x/a)+(x/a)²+....+(x/a)^{n-2})
 \\ 
 \\ \lim_{x \to a}f(x)=(n-1)a^n

Kernelpanic

Est ce que c'est cela que je devais trouver quand vous parliez de reccurrence avec les termes du style akbm

Posté par
Kernelpanic
re : Limite 02-08-20 à 11:27

Pas vraiment, et je me suis mal exprimé, je ne voulais pas t'embrouiller à ce point (oublie cette histoire de récurrence). Il faut supposer a non nul ici, et ensuite traiter le cas a =  0.
Tu n'as pas eu besoin de l'expression factorisée de a^n - b^n ici, mais si tu veux à tout pris l'employer : regarde le message de carpediem  à 21:23 couplé à celui de Camélia... il suffit ensuite de penser à une somme géométrique et de développer/réduire/rentrer des termes dans la somme etc...

Posté par
Kernelpanic
re : Limite 02-08-20 à 11:27

à tout prix *, je ne veux pas laisser passer cette faute grossière...

Posté par
Samsco
re : Limite 02-08-20 à 12:33

L'exo précise ceci:

\left((a,n)\in \mathbb{R}×\mathbb{N^*}\tight)

f(x)=ax*\dfrac{x^{n-1}-a^{n-1}}{x-a}=ax(x^{n-2}+...+a^{n-2})

Je ne sais pas quoi écrire à la place des pointillés

Posté par
carpediem
re : Limite 02-08-20 à 12:42

Samsco @ 02-08-2020 à 10:30

\dfrac{x^{n-1}-a^{n-1}}{x-a}=a^{n-2}*\dfrac{(x/a)^{n-1}-1}{(x/a)-1}
 \\ 
 \\ \dfrac{x^{n-1}-a^{n-1}}{x-a}=a^{n-2}(1+(x/a)+(x/a)²+......+(x/a)^{n-2})
 \\ 
 \\ f(x)=a^{n-1}x {\red [1+(x/a)+(x/a)²+....+(x/a)^{n-2}]}
 \\ 
 \\ \lim_{x \to a}f(x)=(n-1)a^n
si c'est bon ...

quelle est la limite de [...] quand x tend vers a

Posté par
Samsco
re : Limite 02-08-20 à 14:16

Ben c'est pas pareil . Je parle de la factorisation de x^{n-1}-a^{n-1} par x-a.

J'ai déjà répondu à ce que vous demandez à la ligne qui suit mais si vous voulez :

La limite quand x tend vers a de [...] est (n-1)×1

Posté par
carpediem
re : Limite 02-08-20 à 15:02

1 + x + x^2 + x^3 + ... + x^{n - 1} = ...

donc x^n - 1 = ...

Posté par
Samsco
re : Limite 02-08-20 à 15:17

carpediem @ 02-08-2020 à 15:02

1 + x + x^2 + x^3 + ... + x^{n - 1} = {\red{\dfrac{x^n-1}{x-1}}}

donc x^n - 1 = {\red{(x-1)(1+x+x^2+...+x^{n-1}}}

Posté par
Samsco
re : Limite 02-08-20 à 19:13

Dans notre cas , x et a ont la même puissance ducoup pour factoriser , je ne vois pas trop ce que je peux faire.

Sinon je n'ai pas  compris ce que ceci veut dire :
\left((a,n)\in \mathbb{R}×\mathbb{N^*}\tight)

Posté par
carpediem
re : Limite 02-08-20 à 21:07

donc maintenant  si tu mets x/a à la place de x tu retrouves bien ta formule

(a, n) est couple formé d'un réel et d'un entier non nul ...

Posté par
Samsco
re : Limite 02-08-20 à 21:45

carpediem @ 02-08-2020 à 21:07

donc maintenant  si tu mets x/a à la place de x tu retrouves bien ta formule ça c'est déjà fait dans mon post du 02/08/20 à 10h 30 , mon problème c'est la factorisation de x^n-a^n par x-a

(a, n) est couple formé d'un réel et d'un entier non nul ...
d'accord

Posté par
Kernelpanic
re : Limite 02-08-20 à 23:46

Bah pour factoriser ce que tu veux, faut s'y mettre aussi... carpediem t'a donné tous les éléments de réponse

Partant de x^n - 1 = (x-1)(1+x+x^2+...+x^{n-1}) pour x quelconque, tu utilises cette égalité pour

x^n - a^n = a^n \left[\left(\dfrac x a \right)^n - 1 \right]

Ensuite il faut transformer un peu l'égalité obtenue pour obtenir un terme du style (x-a) \times \cdots (où ... est à déterminer).

Posté par
Samsco
re : Limite 03-08-20 à 08:40

 a^n \left[\left(\dfrac x a \right)^n - 1 \right]=a^n~(\dfrac{x}{a}-1)[1+(x/a)+(x/a)²+...+(x/a)^{n-1}]
 \\ 
 \\ =a^n~(\dfrac{x-a}{a})[1+(x/a)+(x/a)²+...(x/a)^{n-1}]
 \\ 
 \\ =\dfrac{a^n}{a}(x-a)[1+(x/a)+(x/a)²+...+(x/a)^{n-1}]
 \\ 
 \\ =a^{n-1}(x-a)[1+(x/a)+(x/a)²+...+(x/a)^{n-1}]
 \\ 
 \\ x^n-a^n=(x-a)[a^{n-1}+a^{n-2}x+a^{n-3}x²+...+x^{n-1}]

Posté par
Samsco
re : Limite 03-08-20 à 08:47

f(x)=ax*\dfrac{x^{n-1}-a^{n-1}}{x-a}
 \\ 
 \\ f(x)=ax~(a^{n-2}+a^{n-3}x+a^{n-4}x²+...+x^{n-2})
 \\ 
 \\ \lim_{x \to a}f(x)=\lim_{x \to a}~a²[(n-1)a^{n-2}]
 \\ 
 \\ \lim_{x \to a}f(x)=(n-1)a^n
 \\ 
 \\

Posté par
Samsco
re : Limite 03-08-20 à 20:32

Alors , c'est bon ?

Posté par
jeanseb
re : Limite 03-08-20 à 20:40

Oui!

Posté par
Samsco
re : Limite 03-08-20 à 20:44

Ok merci !

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