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Limite

Posté par
Fadiooh 18-01-26 à 15:23

Bonjour, comment calculer cette limite:
limite_{xto0}\frac{1}{ln(x+1)}-\frac{1}{x}
Sans utiliser la règle de l'Hôpital
Sans utiliser le développement limité
Merci

Posté par
Fadioohre : Limite 18-01-26 à 15:24

Fadiooh @ 18-01-2026 à 15:23

Bonjour, comment calculer cette limite:
\lim_{xto0}\frac{1}{ln(x+1)}-\frac{1}{x}
Sans utiliser la règle de l?Hôpital
Sans utiliser le développement limité
Merci

* Modération > Balises Latex ajoutées *

Posté par
carpediemre : Limite 18-01-26 à 20:30

salut

(en supposant x > 0 ... mais en fait x > -1 pour que f(x) existe ... donc x pourrait être négatif)

f(x) = \dfrac 1 {\ln (x + 1)} - \dfrac 1 x = \dfrac 1 { \dfrac {\ln \left(1 + \dfrac 1 x \right)} {\frac 1 x}} \left[ 1 - \ln \left( 1 + \dfrac 1 x \right) \right]

quand x tend vers 0 :     le crochet tend vers ...           (-oo)

                                                   la fraction tend vers ...           (1/0+ = +oo)

et par produit f(x) tend vers ...              (-oo)

mais ggb ne semble pas confirmer ce résultat ...

f(x) = \dfrac 1 {\ln (x + 1)} - \dfrac 1 x = \dfrac {x - \ln(x + 1)} {x \ln (x + 1)} = \dfrac { 1 - \dfrac {\ln(1 + x) - \ln 1} x} { \ln (x + 1)}

cette fois le numérateur tend vers 1/2 (ce que semble donner ggb) ... mais le numérateur tend vers 0+ donc f(x) tend vers +oo

sauf à passer par un développement limité (post-bac) je ne vois pas pour l'instant ...

désolé

Posté par
Fadioohre : Limite 18-01-26 à 21:06

Merci pour la tentative. Même si la réponse est incorrecte, l'effort est apprécié.

Posté par
phyelec78re : Limite 18-01-26 à 21:40

Bonjour,

lim (f+g)= lim f +lim g

donc : pour f je prend le terme avec le ln
lim_{x->0} \dfrac{1}{ln(1+x)}=lim_{x->0} \dfrac1x \dfrac{1}{\dfrac{ln(1+x)-ln1}x}  

le terme \dfrac{ln(1+x)-ln1}x}   est la dérivée de ln(x) quand x temps vers 0 qui vaut 1

Posté par
Sylvieg Moderateurre : Limite 19-01-26 à 08:46

Bonjour,

Citation :
la dérivée de ln(x) quand x temps vers 0 qui vaut 1
Une coquille sans doute ? Et pas seulement sur "temps"


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