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Limite à droite et à gauche avec f défini et continue sur R+

Posté par
hbx360 26-10-23 à 10:59

Bonjour, j'ai un exercice ou je dois déterminer si f(x)= \sqrt{4x^3-4x²+x}
est dérivable au point a=1/2

Dans la correction de l'exercice il est dit que x ~\in~\mathbb{R} et que f est défini et continue sur \mathbb{R^+}

Et que

\dfrac{f(x)-f(\frac{1}{\mathstrut2})}{x-\frac{\mathstrut1}{\mathstrut2}} =\dfrac{\sqrt{x}|2x-1|}{x-\frac{\mathstrut1}{\mathstrut2}} ~ = ~ 2\sqrt{x}\dfrac{|2x-1|}{x-\frac{\mathstrut1}{\mathstrut2}} ~ \xrightarrow[x~\to ~( \frac{\mathstrut1}{\mathstrut2})^\pm]{} ~ \pm \sqrt{2}


Ce que je ne comprend pas c'est pourquoi on cherche la limite quand x \rightarrow 1/2^- alors que plus haut il est dit que f est défini sur \mathbb{R^+} ?

Posté par
malou Webmasterre : Limite à droite et à gauche avec f défini et continue sur R 26-10-23 à 11:23

Bonjour

(1/2) - signifie que x tend vers 1/2 par valeurs inférieures à 1/2
mais juste à gauche de 1/2, quel est le signe des valeurs prises ?

Posté par
hbx360re : Limite à droite et à gauche avec f défini et continue sur R 26-10-23 à 13:58

D'accord j'ai compris effectivement j'ai cru que quand on cherchait (1/2)^- on cherchait avec x=- 1/2.

J'ai fais une confusion.

Merci pour ta réponse.

Posté par
carpediemre : Limite à droite et à gauche avec f défini et continue sur R 26-10-23 à 19:13

salut

que x soit un réel est une chose à priori
que f(x) soit calculable pour tout réel x en est une autre

et effectivement pour que f(x) soit calculable il est nécessaire que x soit positif

puisqu'on a de façon évidente f(x) = \sqrt{x(2x - 1)^2} = |2x - 1|\sqrt x

Posté par
hbx360re : Limite à droite et à gauche avec f défini et continue sur R 03-01-25 à 19:20

Bonjour,

Je reviens sur l'exercice (rappel) :

Déterminer  si f est dérivable au point a considéré :

f(x)= \sqrt{4x^3-4x²+x} est dérivable au point a=1/2

Dans la correction pour déterminer si f est dérivable au point a, il a été privilégié la méthode 1 :

\frac{f(x)-f(a)}{x-a}.
J'ai voulu essayer la méthode 2 :

\frac{f(a+t)-f(t)}{t}
mais je n'arrive pas à tomber sur le même résultat. Pourriez-vous me dire comment faire pour y arriver ?

J'ai fais comme ça :

Après avoir déterminé le domaine de définition Df = [0, +\infty [ je fais :

x=\frac{1}{2} +t avec t\rightarrow 0^{+} on a :

\frac{f_{4}(\frac{1}{2}+t) - f_{4}(\frac{1}{2})}{t}  = \frac{\sqrt{4{(\frac{1}{2}+t)^3 - 4(\frac{1}{2}+t)^2 + (\frac{1}{2}+t)}} - \sqrt{4(\frac{1}{2})^3 - 4(\frac{1}{2})^2 + \frac{1}{2}}}{t} = \frac{\sqrt{2t²+4t^3}}{t} = \frac{\sqrt{4t²(\frac{1}{2}+t)}}{t} = \frac{2|t|\sqrt{\frac{1}{2}+t}}{t}

Comme on prend t\rightarrow 0^{+} alors |t| = t donc :

2*\sqrt{\frac{1}{2}+t}}  \rightarrow _{t\rightarrow 0^{+}} \sqrt{2}

Dans le corrigé de l'exercice avec la méthode 1 le résultat est  + ou - \sqrt{2}:

2\sqrt{x}\frac{|2x-1|}{x-\frac{1}{2}} \rightarrow _{x\rightarrow (\frac{1}{2})^\frac{+}{}} \frac{+}{}\sqrt{2}

Alors que pour la méthode 2 je trouve juste +  \sqrt{2}

Donc comment je peux faire pour avoir le même résultat i.e  + ou - \sqrt{2} ?

Posté par
carpediemre : Limite à droite et à gauche avec f défini et continue sur R 03-01-25 à 22:49

pourquoi décider que

hbx360 @ 03-01-2025 à 19:20

avec t\rightarrow 0^{+}


quand x -->1/2 alors t --> 0 avec x = 1/2 + t

et x peut tendre vers 1/2 en lui inférieur comme supérieur donc t peut être aussi bien négatif que positif

donc \dfrac {|t|} t = \pm 1 suivant que t > 0 ou que t < 0

et on retrouve donc le même résultat ...

Posté par
hbx360re : Limite à droite et à gauche avec f défini et continue sur R 04-01-25 à 08:53

Merci carpediem pour ta réponse, j'ai compris.

Posté par
hbx360re : Limite à droite et à gauche avec f défini et continue sur R 04-01-25 à 09:05

carpediem @ 03-01-2025 à 22:49

pourquoi décider que
hbx360 @ 03-01-2025 à 19:20

avec t\rightarrow 0^{+}


En fait j'avais mis t\rightarrow 0^{+} car Df = [0, +\infty [ donc je me suis dit que comme le domaine de définition de la fonction commence à 0 on doit faire tendre t en 0^{+} et non en 0^{-}

Posté par
carpediemre : Limite à droite et à gauche avec f défini et continue sur R 04-01-25 à 11:28

c'est x = 1/2 + t qui doit être positif donc t > -1/2 ...

Posté par
hbx360re : Limite à droite et à gauche avec f défini et continue sur R 04-01-25 à 12:59

ça marche merci pour le complément d'information

Posté par
carpediemre : Limite à droite et à gauche avec f défini et continue sur R 04-01-25 à 14:17

de rien


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