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Niveau première
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Limite avec racine carré ( suite )

Posté par
lyonnais
12-06-05 à 17:25

par ici skops ( suite de ce topic ) :

\Longrightarrow Limite avec racine carré

...

Posté par
lyonnais
re : Limite avec racine carré ( suite ) 12-06-05 à 17:27

t'y arrive ou pas ?

Est-ce que tu connais la méthode déjà ?

sinon, je peux te l'expliquer ...

lyonnais

Posté par
Skops
re : Limite avec racine carré ( suite ) 12-06-05 à 17:28

Donc je trouve

\frac{x^2+3(x-1)-1}{x^3-x^2-1(x-1)

Posté par
Nightmare
re : Limite avec racine carré ( suite ) 12-06-05 à 17:30

Si tu as besoin d'aide Lyonnais n'hésite pas , mais si tu le désires je te laisse gérer ça

Posté par
lyonnais
re : Limite avec racine carré ( suite ) 12-06-05 à 17:36

Justement Jord

Dois-je lui expliquer comment faire ? Parce qu'il n'a pas encore du voir ça en seconde.

Bon allez, je lui explique, mais Jord, vérifis que je ne dis pas de bétises ok ?

Alors c'est parti :

...

Posté par
Nightmare
re : Limite avec racine carré ( suite ) 12-06-05 à 17:37

Pas de probléme lyonnais

Pendant ce temps moi j'en prépare une autre du même type pour qu'il s'entrainne

Posté par
lyonnais
re : Limite avec racine carré ( suite ) 12-06-05 à 17:40

alors il faut factoriser x^2+3x-4 par (x-1)

(x-1)(ax+b)
=
ax^2+bx-x-b
=
ax^2+x(b-1)-b

Or deux polynômes sont égaux si les coefficients devant les termes de même degré sont égaux d'où :

3$ \{{ a=1 \\ b-1=3 \\ -b=-4 <=> 3$ \{{ a=1 \\ b=4 \\ b=4

on a donc :

3$ x^2+3x-4=(x-1)(x+4)

Tu comprends ou pas ? reste à faire celle du bas maintenant ...

Posté par
Nightmare
re : Limite avec racine carré ( suite ) 12-06-05 à 17:43

Autre méthode :

On sait que le produit des racines d'un trinôme du second degré est égal au coefficient du monôme de degré 0 (c'est à dire à c dans ax²+bx+c) .
Ainsi , 1 étant la premiere racine , la deuxiéme racine x doit vérifier :
1\times x=-4
soit :
x=-4

D'où la factorisation


jord

Posté par
lyonnais
re : Limite avec racine carré ( suite ) 12-06-05 à 17:45

merci pour le rajout Nightmare , je n'y avait pas pensé !

Posté par
Nightmare
re : Limite avec racine carré ( suite ) 12-06-05 à 17:47

Ta méthode est aussi efficace , la mienne n'est utile que lorsqu'il ne reste qu'une racine à déterminer .


jord

Posté par
lyonnais
re : Limite avec racine carré ( suite ) 12-06-05 à 17:54

je crois que skops est déconnecté Nightmare :

qu'est-ce que je fais :

1°) je lui factorise la deuxième ?
2°) je lui donne la réponse ?

Posté par philoux (invité)re : Limite avec racine carré ( suite ) 12-06-05 à 17:55

Bonjour,

Petite rectif: le produit vaut c/a, la somme -b/a
Ici a=1 donc pas de pb...

Philoux

Posté par
lyonnais
re : Limite avec racine carré ( suite ) 12-06-05 à 17:59

toujours là pour veiller philoux :

qu'est-ce que l'on ferais sans toi ?

merci et @+ sur l'

Posté par
infophile
re : Limite avec racine carré ( suite ) 12-06-05 à 18:00

S'il n'est pas là je peux essayer en blanc ?

Posté par
lyonnais
re : Limite avec racine carré ( suite ) 12-06-05 à 18:02

pas de problème !!

Ca me fera plaisir de te corriger !

Tu peux même mettre au noir si tu veux ... je pense que skops ne t'en voudra pas !

Enfin, fais comme tu veux !

Posté par
Nightmare
re : Limite avec racine carré ( suite ) 12-06-05 à 18:02

Euh oui mince , c'est que j'ai l'habitude de travailler avec des polynôme dont le terme prépondérant est de coefficient 1 (et quand ce n'est pas le cas je m'y raméne )


Jord

Posté par
infophile
re : Limite avec racine carré ( suite ) 12-06-05 à 18:10

Ok c'est parti, prépare le

(x-1)(ax^2+bx+c) \\ ax^3 + bx^2 +cx - ax^2 -bx -c \\ ax^3 + x^2(b-a) + x(c-b) -c

a=1 \\ b-a=1 \to b=0 \\ c-b=-1 \to c=-1

x^3 -x^2 -x + 1 = (x-1)(x^2-1) = (x-1)^2(x+1)

Kevin

Posté par
Nightmare
re : Limite avec racine carré ( suite ) 12-06-05 à 18:11

Héhé , c'est bien ça un smiley pour toi !


jord

Posté par
lyonnais
re : Limite avec racine carré ( suite ) 12-06-05 à 18:14

kevin : BRAVO !

Donc maintenant sachant que :

x^2+3x-4=(x-1)(x+4)
et
x^3-x^2-x+1=(x-1)(x^2-1)

es-tu en mesure de me calculer :

3$ \rm \lim_{x\to 1} \frac{x^2+3x-4}{x^3-x^2-x+1}   ?

Posté par
infophile
re : Limite avec racine carré ( suite ) 12-06-05 à 18:23

Je crois oui :

\frac{(x-1)(x+4)}{(x-1)(x^2-1)} \\ \frac{x+4}{x^2-1} \\ \frac{x(1+\frac{4}{x})}{x(x-\frac{1}{x})} \\ \frac{1+\frac{4}{x}}{x-\frac{1}{x}}

Or :

\lim_{x\to +\infty}\frac{4}{x} = 0^{+} \\ \lim_{x\to +\infty}-\frac{1}{x}=0^{-}

On en déduis que :

\lim_{x\to +\infty}\frac{x^2+3x-4}{x^3-x^2-x+1}=0

Voila

Posté par
infophile
re : Limite avec racine carré ( suite ) 12-06-05 à 18:24

Oups c'est x qui tend vers 1 !

Dans ce cas la limite c'est 1

Posté par
Nightmare
re : Limite avec racine carré ( suite ) 12-06-05 à 18:24

On te demande une limite en 1 et non en +oo Kevin

Si c'était +oo , on aurait pas eu besoin de faire tout ce bazard avec les racines


jord

Posté par
Nightmare
re : Limite avec racine carré ( suite ) 12-06-05 à 18:25

Raté , ce n'est pas 1 ,regardes bien

Posté par
lyonnais
re : Limite avec racine carré ( suite ) 12-06-05 à 18:25

je suis d'accord infophile !

Le problème c'est qu'ici on cherche la limite pour x = 1 !

Il va te falloir reprendre les calculs ...

Posté par
infophile
re : Limite avec racine carré ( suite ) 12-06-05 à 18:27

Ca ne marche pas on a 0 en haut et en bas ...

Posté par
infophile
re : Limite avec racine carré ( suite ) 12-06-05 à 18:27

+oo

Posté par
lyonnais
re : Limite avec racine carré ( suite ) 12-06-05 à 18:29

ça dépend infophile ... +\infty est une des solutions, mais d'où vient-elle ?

Indice : sépare le calcul en deux :

quand x\to 1^+

et

quand x\to 1^-

courage ...

Posté par
infophile
re : Limite avec racine carré ( suite ) 12-06-05 à 18:32

Ben on a la fraction suivante:

\frac{x+4}{x^2-x}

Si x tend vers 1, le numérateur tend vers 5
Si x tend vers 1 le dénominateur tend vers 0
Donc le tout tend vers +oo

Je comprend pas l'histoire de 1- ou 1+ car c'est au carré le (x²)

Posté par
Nightmare
re : Limite avec racine carré ( suite ) 12-06-05 à 18:32

Fais une conjecture graphique Kevin

Posté par
Nightmare
re : Limite avec racine carré ( suite ) 12-06-05 à 18:33

Ce n'est pas parcequ'il y a un terme au carré que l'expression entiére sera toujours positive .

En l'occurence si tu fais un tableau de signe tu verras que x²-1 n'est pas toujours négative


jord

Posté par
infophile
re : Limite avec racine carré ( suite ) 12-06-05 à 18:40

Lyonnais m'a aidé à conclué après le tableaude signe.

Les deux limites sont dnoc +oo et -oo

Merci à vous deux

Posté par
Nightmare
re : Limite avec racine carré ( suite ) 12-06-05 à 18:41

Il nous faudrait savoir quelle limite correspond à 1+ et laquelle correspond à 1-


Jord

Posté par
lyonnais
re : Limite avec racine carré ( suite ) 12-06-05 à 18:42

Oui infophile , explique ( sans te tromper )

PS : Jord, si tu en as une autre à lui proposer du même style ... n'hésite pas !

Posté par
infophile
re : Limite avec racine carré ( suite ) 12-06-05 à 18:43

1+ --> +oo
1- --> -oo

T'en a une autre ? Enfin vous si lyonnais tu es inspiré

Posté par
infophile
re : Limite avec racine carré ( suite ) 12-06-05 à 18:44

>>Jord

Sinon tu me dis dans "Interro des lycées" niveau 1ère si tu en repère une, comme ça on aura la même, et je promet de pas regarder la solution !
Mais si tu préfère une de toi c'est pas mal non plus

Posté par
Nightmare
re : Limite avec racine carré ( suite ) 12-06-05 à 18:48

Pourquoi pas

Je voudrais cependant faire une petite remarque , pour la limite en 1 que j'avais proposé , si on te la demande en contrôle Kevin , la réponse que tu devras fournir est qu'elle n'existe pas . En effet , une limite en un point n'existe que si les limite à gauche et à droite de ce point sont égales ce qui n'était pas ici .

C'est pour ça que pour la prochaine , tu vas faire comme si tu étais en contrôle et avoir le maximum de rigueur possible .

Voici l'énoncé :

Calculer la limite suivante :
3$\rm \lim_{x\to 3} \frac{x^{2}-2x-3}{x^3-2x^2-2x-3}


Jord

Posté par
Nightmare
re : Limite avec racine carré ( suite ) 12-06-05 à 18:49

Le pourquoi pas était en réponse à Lyonnais , pour ce qui est de l'interro des lycées , je vais y jeter un coup d'oeil

Posté par
lyonnais
re : Limite avec racine carré ( suite ) 12-06-05 à 18:49

encore une bonne trouvaille !!

Posté par
Nightmare
re : Limite avec racine carré ( suite ) 12-06-05 à 18:51

:D

Posté par
infophile
re : Limite avec racine carré ( suite ) 12-06-05 à 18:54

>>Jord

J'essaye cette limite après manger, j'ai oublié de gouter mdr et mon ventre cri famine ! Dans ces conditions je ne suis pas apte à tenter la résolution ! (et oui le cerveau consomme beaucoup de glucose ). Je reviens poster ce soir !

Si tu en trouves d'autres sur Interro des lycées je suis preneur

Merci beaucoup

>>Lyonnais

Merci de ton soutien c'est trop aimable

Bonne soirée les gars

Kevin

Posté par
Nightmare
re : Limite avec racine carré ( suite ) 12-06-05 à 18:54

Bon appetit

Posté par
lyonnais
re : Limite avec racine carré ( suite ) 12-06-05 à 18:57

bon appétit

et sache que c'est et ce sera toujours un plaisir de t'aider kevin

@ tout à l'heure

Posté par
infophile
re : Limite avec racine carré ( suite ) 12-06-05 à 18:58

Merci

A tout à l'heure

Posté par
Nightmare
re : Limite avec racine carré ( suite ) 12-06-05 à 18:59

Bon bah lyonnais on a plus qu'a se donner des exos mutuellement si on veut pas s'ennuyer :P

Posté par
Thibs
re : Limite avec racine carré ( suite ) 12-06-05 à 19:01

Prouvons qu'un groupe est abélien si et seulement si il est endomorphique

Posté par
lyonnais
re : Limite avec racine carré ( suite ) 12-06-05 à 19:01

lol

désolé mais moi je retourne réviser ma physique ...

@+ sur l'

Posté par
Nightmare
re : Limite avec racine carré ( suite ) 12-06-05 à 19:02

Lol bon daccord lyonnais j'ai compris tu m'abandonnes sympas

Thibs , "endomorphique" , pas mal


Jord

Posté par
Thibs
re : Limite avec racine carré ( suite ) 12-06-05 à 19:06


J'avais lu ça comme exercice pour "s'initier" aux notions de groupes et de morphismes dans un bouquin de MPSI. Les autres exercices m'avaient l'air plus compliqués

Posté par
Nightmare
re : Limite avec racine carré ( suite ) 12-06-05 à 20:05

Avec ta permission je modifie un peu la limite que je demande .

Calcules plutot celle-ci (toujours avec la rigueur demandée )

3$\rm \lim_{x\to 3} \frac{x^2-2x-3}{x^4-5x^3+4x^2+3x+9}


Jord

Posté par
infophile
re : Limite avec racine carré ( suite ) 12-06-05 à 20:34

J'ai un petit soucis pour la factorisation au dénominateur :

x^4-5x^3 +4x^2 +3x + 9

Racine évidente du polynome : 3

On factorise par (x-3):

(x-3)(ax^3+bx^2+cx+d) \\ ax^4+bx^3+cx^2+dx-3ax^3-3bx^2-3cx-3d \\ ax^4 + x^3(b-3a) + x^2(c-3b) + x(d-3c) -3d

Par identification, on obtient :

a = 1
b-3a = -5 ; b=-2
c-3b = 4 ; c=-2
d-3c = 3 ; d=-3
-3d = 9 ; d=-3

Ce qui donne après coup :

(x-3)(x^3-2x^2 -2x - 3)

Et la je trouve pas de racine évident...

Kevin

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