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limite d une fonction definie par une integrale

Posté par
aya4545 02-09-22 à 20:34

bonjour
incapable d aborder cette question  
déterminer lim_{x\to1}\int_x^{x²} \frac{dt}{\ln t}
je sais qu il faut encadrer \int_x^{x²} \frac{dt}{\ln t} entre deux fonctions qui tendent vers la meme limite et utiliser th de gendarmes

Posté par
lakere : limite d une fonction definie par une integrale 02-09-22 à 21:33

Bonsoir,

Dans un premier temps tu peux supposer x>1 en sorte que [x,x^2]\subset]1,+\infty[

On peut montrer que pour tout X>0, \dfrac{X}{1+X}\leq \ln(1+X)\leq X

C'est une inégalité relativement "classique".

en posant t=1+X avec t>1, on obtient :

   \dfrac{t-1}{t}\leq \ln\,t\leq t-1 (avec les trois termes positifs). D'où :

   \dfrac{1}{t-1}\leq \dfrac{1}{\ln\,t}\leq \dfrac{t}{t-1}

Inégalité que tu intègres sur [x,x^2] pour obtenir avec les gendarmes une limite en 1^+ qui devrait ressembler à \ln\,2

Pour 0<x<1, il faut adapter la méthode pour obtenir la limite en 1^-

Posté par
aya4545re : limite d une fonction definie par une integrale 02-09-22 à 22:41

bonsoir
merci lake
effectivement j ai trouvé lim_{x\to1^+}\int_x^{x²} \frac{dt}{\ln t}= lim_{x\to1^-}\int_x^{x²} \frac{dt}{\ln t}=\ln 2

Posté par
lakere : limite d une fonction definie par une integrale 02-09-22 à 22:46

Bonsoir aya4545,
La solution que je t'ai proposée est un peu « tarabiscotée ».
Il existe peut-être mieux ...
Bonne fin de vacances !

Posté par
aya4545re : limite d une fonction definie par une integrale 02-09-22 à 23:02

on peut raisonner encore ainsi
x>1 \implies x²>x
x<t<x²\implies    x\int_x^{x²} \frac{dt}{t\ln t}<  \int_x^{x²} \frac{dt}{\ln t}<x²\int_x^{x²} \frac{dt}{t\ln t} car (\int_x^{x²} \frac{dt}{t\ln t}>0) et remarquer q une primitive de \frac{1}{t\ln t} est\ln(\ln t)

on procede de la meme maniere  si 0<x<1

Posté par
aya4545re : limite d une fonction definie par une integrale 02-09-22 à 23:10

bonsoir
je trouve que votre méthode est meilleur
en se basant sur l inégalité

\frac{X}{1+X}\leq \ln(1+X)\leq X qu on a beaucoup utilisé en classe de terminal et que j ai oublié pour aboutir a un encadrement \frac{1}{\ln t}

Posté par
malou Webmasterre : limite d une fonction definie par une integrale 03-09-22 à 09:00

Bonjour à tous les deux
aya4545, dès que ta rentrée est faite, n'oublie pas de modifier ton profil dans ton espace membre, et de poster au niveau supérieur
merci

Posté par
elhor_abdelali Correcteurre : limite d une fonction definie par une integrale 04-09-22 à 00:17

Bonsoir


une manière qui a l'avantage de ne pas distinguer les cas x<1 et x>1


pour \Large\boxed{x\in]0,1[\cup]1,+\infty[} le changement de variable \Large\boxed{u=\ln t} donne,


\Large\boxed{\int_x^{x^2}\frac{dt}{\ln t}=\int_{\ln x}^{2\ln x}\frac{e^u}{u}du=\ln2+\int_{\ln x}^{2\ln x}\frac{e^u-1}{u}du} ... sauf erreur de ma part bien entendu

Posté par
aya4545re : limite d une fonction definie par une integrale 04-09-22 à 14:49

bonjour
merci infiniment elhor_abdelali
pour une primitive  de \frac{e^t}{t} vous avez utilisé la formule de taylor je pense
priere m expliquer ce passage et merci

Posté par
elhor_abdelali Correcteurre : limite d une fonction definie par une integrale 04-09-22 à 23:13

Bonsoir aya4545


Non je n'ai pas cherché de primitive pour la fonction u\mapsto\frac{e^u}{u}


d'ailleurs les primitives de cette fonction sur chacun des deux intervalles \mathbb R_{-}^{*} et \mathbb R_{+}^{*} ne sont pas exprimables à l'aide de fonctions usuelles


mais les théorèmes généraux d'analyse assurent leur existence


donc l'intégrale \Large\boxed{\int_{\ln x}^{2\ln x}\frac{e^u}{u}du} est bien définie bien qu'elle fait appel à deux primitives différentes



l'astuce consistait alors à ajouter puis retrancher 1



\Large\boxed{\int_{\ln x}^{2\ln x}\frac{e^u}{u}du=\int_{\ln x}^{2\ln x}\left(\frac{1}{u}+\frac{e^u-1}{u}\right)du=\int_{\ln x}^{2\ln x}\frac{du}{u}+\int_{\ln x}^{2\ln x}\frac{e^u-1}{u}du=\ln2+\int_{\ln x}^{2\ln x}\frac{e^u-1}{u}du}



la fonction u\mapsto\frac{e^u-1}{u} est prolongeable par continuité sur tout \mathbb R et admet donc des primitives sur \mathbb R



si F est l'une d'elles on a \Large\boxed{\int_{\ln x}^{2\ln x}\frac{e^u-1}{u}du=F(2\ln x)-F(\ln x)}


et donc \Large\boxed{\lim_{x\to1}\int_{\ln x}^{2\ln x}\frac{e^u-1}{u}du=F(0)-F(0)=0} sauf erreur de ma part bien entendu

Posté par
aya4545re : limite d une fonction definie par une integrale 06-09-22 à 08:23

bonjour
merci elhor_abdelali


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