Inscription / Connexion Nouveau Sujet

1 2 +


Niveau terminale
Partager :

limite d'une fonction exponentielle avec forme indéterminée

Posté par
City10
19-11-14 à 00:30

bonjour,

j'ai une fonction f(x) = x*e^x/e^x+1

en moins l'infini, la limite = 1
mais en plus l'infini, c'est une forme indéterminée
comment lever cette forme avec la factorisation ? Svp je n'y arrive pas
merci d'avance

Posté par
Kurenay
re : limite d'une fonction exponentielle avec forme indéterminée 19-11-14 à 01:19

D'après les croissances comparées , en -, lim xnex=0 ; lim ex+1= 1. Donc \frac{0}{1}=0

Pour lever la forme d'indétermination, factorise par ex au numérateur et au dénominateur.

Posté par
City10
re : limite d'une fonction exponentielle avec forme indéterminée 19-11-14 à 11:41

merci

donc pour lever ma limite en plus l'infini, il faut faire xe^x*e^x/e^x*e^x+1 ?

Posté par
Glapion Moderateur
re : limite d'une fonction exponentielle avec forme indéterminée 19-11-14 à 13:06

ben oui, mais ta factorisation m'a l'air un peu douteuse. Factoriser, ça n'est pas multiplier haut et bas
\dfrac{xe^x}{e^x+1}=\dfrac{xe^x}{e^x(1+e^{-x})}=\dfrac{x}{1+e^{-x}} et effectivement ça n'est plus indéterminé.

Posté par
City10
re : limite d'une fonction exponentielle avec forme indéterminée 19-11-14 à 16:42

Merci pour tout
Donc limite de f (x) en moins l infini = 0
Limite en plus l infini forme indéterminée
Je dois interpréter graphiquement la limite en moins l infini comment faire ?

Posté par
Glapion Moderateur
re : limite d'une fonction exponentielle avec forme indéterminée 19-11-14 à 18:01

Citation :
Limite en plus l infini forme indéterminée

heureusement que je viens de te dire que la forme n'était plus indéterminée

Citation :
Je dois interpréter graphiquement la limite en moins l infini comment faire ?

une fonction qui tend vers 0 quand x tend vers - l'infini c'est qu'elle a l'axe ox comme asymptote horizontale.

Posté par
City10
re : limite d'une fonction exponentielle avec forme indéterminée 19-11-14 à 19:42

merci

mais au début c'est une forme indéterminée mais grâce à tes conseils elle ne l'es plus

j'ai une nouvelle question : démontrer que la droite d'équation d d'équation y=x est une asymptote à f(x)
et ensuite, étudier les positions

Posté par
Glapion Moderateur
re : limite d'une fonction exponentielle avec forme indéterminée 19-11-14 à 19:45

il suffit de montrer que f(x)-x tend vers 0
Puis pour les positions, il faut étudier le signe de f(x)-x

Posté par
City10
re : limite d'une fonction exponentielle avec forme indéterminée 19-11-14 à 20:27

c'est à dire tend vers 0 ?
il faut faire la limite de -x et de f(x) ?

Posté par
City10
re : limite d'une fonction exponentielle avec forme indéterminée 19-11-14 à 21:08

Et après j ai une fonction h (x) = e^x*(e^x+x+1)/(e^x+1)^2
Il faut déterminer l'équation de la tangente T à h (x)

J ai trouvé ×+2 c est ça ?

Posté par
Glapion Moderateur
re : limite d'une fonction exponentielle avec forme indéterminée 19-11-14 à 22:27

la tangente en quel point ?

Posté par
City10
re : limite d'une fonction exponentielle avec forme indéterminée 19-11-14 à 23:28

non c'est bon j'ai trouvé
mais pour étudier la position je n'arrive pas à faire f(x)-x
pouvez-vous m'aider ?

Posté par
City10
re : limite d'une fonction exponentielle avec forme indéterminée 19-11-14 à 23:31

Désolé je me suis encore trompé ^^

fx = xe^x/e^x+1
f'x =  e^x*e^x+x+1/(e^x+1)^2

j'ai calculé une équation de la tangeante est j'ai trouvé 1/2*x
mais je ne sais pas comment étudier la position de la tangente par rapport à f(x)
quel est le calcul ?

Posté par
City10
re : limite d'une fonction exponentielle avec forme indéterminée 19-11-14 à 23:34

et aussi pour faire f(x)-x

je viens de me rendre compte que je dois faire les 2

Posté par
Glapion Moderateur
re : limite d'une fonction exponentielle avec forme indéterminée 20-11-14 à 09:35

il faut juste savoir réduire deux fractions au même dénominateur.
f(x)-x = xex/(ex+1) - x = ( xex-x(ex+1) )/(ex+1)= -x/(ex+1)

ça tend vers 0 pour x tendant vers + donc y=x est bien asymptote
c'est négatif pour x>0 donc la fonction est en dessous de son asymptote
A vérifier sur le graphe :
limite d\'une fonction exponentielle avec forme indéterminée

la tangente, je ne sais toujours pas en quel point ? A l'origine peut-être ?
limite d\'une fonction exponentielle avec forme indéterminée

Posté par
City10
re : limite d'une fonction exponentielle avec forme indéterminée 20-11-14 à 11:34

Oui à l origine

Il faut faire h (x)- 1/2 ?

Posté par
Glapion Moderateur
re : limite d'une fonction exponentielle avec forme indéterminée 20-11-14 à 11:49

non h(x)-x/2

Posté par
City10
re : limite d'une fonction exponentielle avec forme indéterminée 20-11-14 à 12:11

Comment faire ?

Posté par
Glapion Moderateur
re : limite d'une fonction exponentielle avec forme indéterminée 20-11-14 à 12:30

reprenons, déjà je ne suis pas sûr que tu ais trouvé l'équation de la tangente en 0
h(x) = ex (ex+x+1)/(ex+1)2 ? (donc h(0)=1/2 et donc y=x/2 qui ne passe par par le point 1/2 ne peut pas être l'équation de la tangente)

on trouve h'(0) = 1/2
l'équation de la tangente est donc y=f '(0)x + f(0) = x/2+1/2
limite d\'une fonction exponentielle avec forme indéterminée

maintenant on veut étudier la position de la fonction par rapport à sa tangente donc on calcule h(x) -(x+1)/2
= ... = -(xe2x+x-e2x+1)/(2 (ex+1)2) et il faut étudier le signe de cette expression
c'est pas très simple, il faut étudier le signe du numérateur.
on va trouver comme on le voit sur le dessin que c'est négatif pour x<0 et positif pour x>0
on peut alors en conclure que la fonction est au dessus de sa tangente avant 0 et en dessous après.

Posté par
City10
re : limite d'une fonction exponentielle avec forme indéterminée 20-11-14 à 21:56

merci pour tout, j'ai rendu mon devoir


j'en ai un nouveau que je monterais demain

Posté par
City10
re : limite d'une fonction exponentielle avec forme indéterminée 21-11-14 à 11:16

Bonjour : Partie 2 du problème
on considère la fonction f(x) suivante : 1/2* x+1-1/2x + ln(x)/x  sur l'intervalle )0;+l'infini(

1) Calculer la limite de f(x) en 0 et interpréter graphiquement le résultat
2) Calculer la limite de f(x) en +l'infini
3) calculer la dérivée de f(x). Elle ne me semble pas très facile à faire... J'ai besoin d'aide.
4) Justifier que f(x)=0 admet une seule solution  unique notée alpha.

Posté par
Glapion Moderateur
re : limite d'une fonction exponentielle avec forme indéterminée 21-11-14 à 11:24

f(x) = x/2 + 1 - 1/(2x) + ln(x) / x ?
tu as trouvé les limites ?

après tu dérives chaque terme f '(x)=1/2 + 1/(2x²) + 1/x²-ln(x)/x² (j'ai dérivé ln(x)/x comme un produit (1/x)ln(x) )
=(x²-2ln(x) +3)/(2x²)

Posté par
City10
re : limite d'une fonction exponentielle avec forme indéterminée 21-11-14 à 19:10

merci

je n'ai pas trouvé en plus l'infini...

mais pour la dérivée, 1/2 + 1/(2x²) + 1/x²-ln(x)/x² ,  pourquoi ce n'est pas 1/2- 1/(2x^2) ?

Posté par
Glapion Moderateur
re : limite d'une fonction exponentielle avec forme indéterminée 21-11-14 à 19:17

en + (1/2x et ln(x)/x tendent vers 0 donc la limite est celle de x/2 donc infinie

la dérivée de 1/x est -1/x² donc la dérivée de -(1/2)(1/x) est +(1/2)(1/x²) = 1/(2x²)
et puis il faut dériver le ln(x)/x aussi, soit comme un produit (uv)'=u'v+v'u avec u= ln(x) et v= 1/x
soit avec la formule (u/v)²=(u'v-v'u)/v²

Posté par
City10
re : limite d'une fonction exponentielle avec forme indéterminée 21-11-14 à 19:46

très bien merci
j'envoie la suite tout à l'heure, je commence à rédiger

Posté par
City10
re : limite d'une fonction exponentielle avec forme indéterminée 21-11-14 à 20:23

montrer que la fonction 1/2*(ln(x))2 est une primitive de la fonction ln(x)/x
comment faire ?
je pensais faire u*v mais je ne suis pas sur que ce soit la bonne solution.

Posté par
Glapion Moderateur
re : limite d'une fonction exponentielle avec forme indéterminée 21-11-14 à 22:14

dérive toujours (1/2)(ln(x))² et tu verras bien

Posté par
City10
re : limite d'une fonction exponentielle avec forme indéterminée 21-11-14 à 22:36

je dois par la suite hachurer la surface comprise entre h(x), l'axe des abscisses, la droite d'équation x=1 et la droite d'équation x= exp

Mais ma droite d'équation x = exp va être imprécise non ? vu que ce n'est pas un nombre entier...

Posté par
Glapion Moderateur
re : limite d'une fonction exponentielle avec forme indéterminée 21-11-14 à 22:46

Et alors ? c'est important que ça soit précis ? c'est juste un dessin.
limite d\'une fonction exponentielle avec forme indéterminée
Après, que la valeur de l'aire soit plus ou moins précise, ça c'est une autre question

Posté par
City10
re : limite d'une fonction exponentielle avec forme indéterminée 21-11-14 à 23:04

très bien merci

et enfin j'avais oublié une question :
on considère une fonction g(x) = x^2+3-2ln(x) définie sur l'intervalle )0;+l'infini(

on nous donne le tableau de signe de g'(x). Entre  = x=0e qui st une valeur interdite et   x=1 g'(x)+0,  g'(x) est négative. Puis elle devient positive

Je dois indiquer les variations de g(x)
calculer g(1) et en déduire le signe de g(x) pour tout nombre réel strictement positif.
comment faire ?

Posté par
Glapion Moderateur
re : limite d'une fonction exponentielle avec forme indéterminée 22-11-14 à 09:17

si tu as le tableau de signe de g'(x) tu sais quand est-ce que g(x) est croissant ou décroissant. tu peux alors en déduire le signe de g(x).
limite d\'une fonction exponentielle avec forme indéterminée
tu sais que le minimum de g(x) est pour x=1 et g(1)=4 donc tu en déduis que g(x) est toujours positive.

Posté par
City10
re : limite d'une fonction exponentielle avec forme indéterminée 22-11-14 à 13:03

merci beaucoup

Au fait, quel est le logiciel que tu uitilses pour faire ces tableaux, et écrire les fonctions sous la forme algébrique ?

Posté par
City10
re : limite d'une fonction exponentielle avec forme indéterminée 22-11-14 à 13:07

au fait, la limite de h(x) quand x tend vers 0, je mets la limite en 0+ ou en 0- ?

Posté par
Glapion Moderateur
re : limite d'une fonction exponentielle avec forme indéterminée 22-11-14 à 13:08

Pour faire le tableau de variations, aller sur le site magique :
tu rentres ta fonction , le domaine de définition (éventuellement) et ça te fabrique le tableau de variations.

les fonctions sous forme algébrique, c'est le \LaTeX voir l'aide :

Posté par
City10
re : limite d'une fonction exponentielle avec forme indéterminée 22-11-14 à 14:08

ok merci

et pour la limite de h(x) quand x tend vers 0 je mets 0+ ou 0- ?

Posté par
City10
re : limite d'une fonction exponentielle avec forme indéterminée 22-11-14 à 14:08

je mets la limite de h(x) quand x tend vers 0+ ou vers 0- ou les 2 ?

Posté par
Glapion Moderateur
re : limite d'une fonction exponentielle avec forme indéterminée 22-11-14 à 14:18

peu importe, ça n'est pas indéterminé, la limite est la même à gauche et à droite, à savoir 1/2

Posté par
City10
re : limite d'une fonction exponentielle avec forme indéterminée 22-11-14 à 14:52

je voudrais un petit rappel : quand on réduit au même dénominateur, il faut mettre le facteur au numérateur aussi ?

Posté par
Glapion Moderateur
re : limite d'une fonction exponentielle avec forme indéterminée 22-11-14 à 15:01

Si tu veux dire que l'on a le droit de multiplier le numérateur et le dénominateur d'une fraction par un même nombre sans changer sa valeur, alors, la réponse est oui.
Et ça sert à réduire au même dénominateur deux fractions, oui.

Posté par
City10
re : limite d'une fonction exponentielle avec forme indéterminée 22-11-14 à 16:10

j'ai encore un problème avec la dérivée

f(x) = 1/2* x+1-1/2x + ln(x)/x

pour moi f'(x) = 1/2 + 2/2x^2 - ln(x)/x^2 + 1/x^2

mais quand je réduis, au même dénominateur, je trouve x^2/2x^2 + 2/2x^2 -2ln(x)/2x^2+ 2/2^2

je trouve x^2-2ln(x)+4/2x^2

Pourquoi ?

Posté par
Glapion Moderateur
re : limite d'une fonction exponentielle avec forme indéterminée 22-11-14 à 16:17

f(x) = x/2+1-1 /(2x) + ln(x)/x ? non la dérivée de -1/(2x)=-(1/2)x-1 c'est -(1/2)(-1)x-2 = 1/(2x²)
f '(x) = 1/2 + 1/(2x²) + 1/x²- ln(x)/x² = 1/2 +3/(2x²)-ln(x)/x² =(x²-2ln(x)+3)/(2x²) = g(x)/(2x²)

Posté par
City10
re : limite d'une fonction exponentielle avec forme indéterminée 22-11-14 à 16:23

non, f(x) = 1/2 * x+1 - 1/2x + ln(x)/x

donc f'(x) = 1/2 + 2/2x^2 -ln(x)/x^2 + 1/x^2

Posté par
Glapion Moderateur
re : limite d'une fonction exponentielle avec forme indéterminée 22-11-14 à 16:30

c'est ce que j'ai écris il me semble ! ou alors mets tes parenthèses convenablement.
je t'ai expliqué que la dérivée de 1/(2x) n'était pas ce que tu as mis.
(et le fait que l'on trouve g(x)/(2x²) est plutôt un bon signe )

Posté par
City10
re : limite d'une fonction exponentielle avec forme indéterminée 22-11-14 à 17:12

mais la dérivée de 1/u, c'est u'/u^2 je l'ai dans mon cours

mais pourrais tu étape par étape, me montrer comment tu fait ?

Posté par
Glapion Moderateur
re : limite d'une fonction exponentielle avec forme indéterminée 22-11-14 à 17:17

non (1/u)' = -u'/u² voir fiche : Formules - Formulaire : Dérivées de fonctions usuelles

mon post de 16:17 donne toutes les étapes.

Posté par
City10
re : limite d'une fonction exponentielle avec forme indéterminée 22-11-14 à 17:43

donc 1/2x donne 2/2x^2 non ?
Du coup

f'(x) : 1/2 + 2/2x^2 -ln(x)/x^2 + 1/x^2 non ?

mais je trouve x^2-2ln(x)+4/ 2x^2

Posté par
Glapion Moderateur
re : limite d'une fonction exponentielle avec forme indéterminée 22-11-14 à 17:48

non voir mes posts précédents

la dérivée de 1/(2x)=(1/2)(1/x) c'est (1/2)(-1/x²) = -1/(2x²) il n'y a pas de 2 au numérateur.

Posté par
City10
re : limite d'une fonction exponentielle avec forme indéterminée 22-11-14 à 18:09

merci

mais pourquoi au final, on ne peut pas utiliser la propriété 1/u ?

Posté par
Glapion Moderateur
re : limite d'une fonction exponentielle avec forme indéterminée 22-11-14 à 18:12

si, c'est ce que l'on a utilisé. Ou plutôt k/x donc la dérivée est -k/x²

Posté par
City10
re : limite d'une fonction exponentielle avec forme indéterminée 22-11-14 à 18:18

oui mais 1/2x = u'/u donc 2/2x^2

ou on a décomposé la fraction

1 2 +




Vous devez être membre accéder à ce service...

Pas encore inscrit ?

1 compte par personne, multi-compte interdit !

Ou identifiez-vous :


Rester sur la page

Inscription gratuite

Fiches en rapport

parmi 1742 fiches de maths

Désolé, votre version d'Internet Explorer est plus que périmée ! Merci de le mettre à jour ou de télécharger Firefox ou Google Chrome pour utiliser le site. Votre ordinateur vous remerciera !