Inscription / Connexion Nouveau Sujet
Accueil l'île des mathématiques Forum de mathématiquesListe de tous les forums de mathématiques LycéeOn parle exclusivement de maths, niveau lycée. TerminaleForum de terminale IntégrationTopics traitant de Intégration [tout]Lister tous les topics de mathématiques
Niveau terminale
Partager :

Limite d'une integrale

Posté par
nolliie 01-02-11 à 21:58

Bonsoir,

J'aimerais calculer la limite de l'intégrale suivante (de 0 à Pi) sans la calculer : (ncos(x))/(n+x)dx
Auriez-vous une idée d'une méthode rigoureuse ? Par encadrement et méthode de valeur absolue je pense que c'est Pi mais je n'en suis pas sûre ..

Merci d'avance !

Posté par
cafeadictore : Limite d'une integrale 01-02-11 à 22:04

Bonsoir,

je ne suis pas certain d'avoir bien compris ta question : tu veut calculer :
\lim_{n\to +\infty}\int_0^\pi\frac{n\cos (x)}{n+x}dx

sans calculer l'intégrale, c'est ça?

Posté par
nolliiere : Limite d'une intégrale 01-02-11 à 22:21

Effectivement c'est cela , mon phrasé était peut-être mal formulé désolée

Posté par
cafeadictore : Limite d'une integrale 01-02-11 à 22:24

Pour l'instant par quoi as tu encadré ?

Posté par
nolliiere : limite d'une intégrale 01-02-11 à 22:37

Pour l'instant l'encadrement de mon intégrale se fait entre - et , et peut-on en conclure quelque chose en disant que la valeur absolue est inférieure à ?

Posté par
nolliiere : limite d'une intégrale 01-02-11 à 22:39

Rectification : entre -Pi et Pi

Posté par
cafeadictore : Limite d'une integrale 01-02-11 à 22:51

Je suis d'accord avec ton encadrement, pour affiner le résultat, je chercherais d'abord vers quelle fonction  f converge simplement la suite $(f_n)$ définie par f_n(x)=\frac{n\cos(x)}{n+x}... Ca peut donner des idées...

Posté par
cafeadictore : Limite d'une integrale 01-02-11 à 22:52

La rectification portait sur l'encadrement que tu as fait ou les bornes de l'intégrales dans l'énoncé?

Posté par
nolliiere : limite d'une intégrale 01-02-11 à 23:04

Sur l'encadrement que j'ai fait ! Je n'ai pas très bien saisi comment trouver la convergence de (Fn) vers une fonction f sur l'intervalle [0;] ?

Posté par
cafeadictore : Limite d'une integrale 01-02-11 à 23:04

Indication : tu devrais trouver \lim_{n\to\infty}\int^\pi_0 \frac{n\cos x}{n+x}dx=0

Posté par
cafeadictore : Limite d'une integrale 01-02-11 à 23:14

On a :
\forall x\in [0,\pi], f_n(x)=\frac{n\cos x}{n(1+\frac{x}{n}}\mapsto \cos x

Donc tu pourrais avoir envie que ton intégrale tende vers \int_0^pi \cos =0, si on pouvait échanger limite et intégrale (en fait ici, c'est le cas grâce au théorème de convergence dominée de Lebesgue, mais c'est largement hors programme). (les f_n sont les fonctions dans ton integrale)

En fait c'était pour te faire deviner ta limite vaut zéro. Maintenant il faut que tu encadre tous tes f_n (a partir d'un certain rang au moins) par deux fonctions g et h  (g<=f_n<=h) telles que \int^\pi_0 g(x)dx=int^\pi_0 h(x)dx=0 et ça sera gagné

Posté par
nolliiere : limite d'une intégrale 01-02-11 à 23:21

D'accord je comprends mieux merci . En fait je peux dire que la limite de l'intégrale de (Fn) est égale à l'intégrale de la fonction vers laquelle converge (Fn) ?

Posté par
cafeadictore : Limite d'une integrale 01-02-11 à 23:38

En fait c'est parle théorème de convergence dominée de Lebesgue ici : mais celui-ci n'est pas du tout du niveau terminale (en fait plutot niveau "Licence").

Donc ici tu n'as pour l'instant pas le droit de faire autre chose que mon histoire de l'encadrement avec les fonctions g et h.

Posté par
cafeadictore : Limite d'une integrale 01-02-11 à 23:55

je te donne un encadrement qui doit marcher :


\forall n\geq 1 ,\, \forall x\in [0, \pi],\, \frac{\cos x}{1+\pi}=\frac{n\cos x}{n+n\pi}\leq\frac{n\cos x}{n+x} \leq \frac{n\cos x}{n}=\cos x

Je te laisse vérifier que tout convient...

Cela te va?

Posté par
nolliiere : limite d'une intégrale 02-02-11 à 00:05

Merci beaucoup, j'ai compris la démarche et l'encadrement tout en gardant en tête le "petit" théorème .
Cela me va très bien , bonne soirée !

Posté par
cafeadictore : Limite d'une integrale 02-02-11 à 00:06

Avec plaisir ! Bonne soirée !


Rechercher
Menu
Espace membre
41 visiteurs
Changer d'île

Vous devez être membre accéder à ce service...

Pas encore inscrit ?

1 compte par personne, multi-compte interdit !

Ou identifiez-vous :

Rester sur la page

Inscription gratuite

Fiches en rapport

parmi 1720 fiches de maths

Désolé, votre version d'Internet Explorer est plus que périmée ! Merci de le mettre à jour ou de télécharger Firefox ou Google Chrome pour utiliser le site. Votre ordinateur vous remerciera !