Bonsoir.

Lorsque x tend vers l'infini, 1/x est compris entre 0 et 1, donc E(1/x)=0, donc x*0=0, donc la limite en +infini vaut 0.

Lorsque x tend vers 0, on peut se contenter d'encadrer la partie entière :
1/x - 1 < E(1/x) 1/x
donc en multipliant par x strictement positif :
1-x < xE(1/x) 1, on peut conclure avec le théorème des gendarmes.

Bonjour, merci de votre réponse.
J'ai par contre quelques questions car je ne comprends pas tout.
Premièrement j'aimerais comprendre pourquoi (1/x) n'est compris qu'entre 0 et 1 et de pourquoi à la fin, nous en déduisons que E(1/x)=0.
Deuxièmement, j'aimerais savoir pourquoi on a:
(1/x)-1<E(1/x)<(1/x)
et pas, par exemple: (1/x)-1<E(1/x)<(1/x)+1

Merci beaucoup

1/x est compris entre 0 et 1 si x est plus grand que 1, ce qui est le cas lorsque x tend vers +infini.

Il faut revenir à la définition de la partie entière. Soit X un réel. Par définition, la partie entière de X est l'entier le plus grand parmi les entiers inférieurs à X, c'est-à-dire que :
E(X)X (car par définition E(X) est parmi les entiers inférieurs à X)
E(X)+1 > X (car sinon E(X)+1 serait encore un entier inférieur à X, ce qui est exclu car E(X) est choisi maximal
Cette deuxième inégalité se réécrit : X-1<E(X)
D'où la double inégalité :
X-1 < E(X) X
Et ici on applique cela à X=1/x

Merci beaucoup. Donc si x tend vers - infini, alors x est plus petit que 1 et 1/x sera compris entre 0 et 1 aussi?

Non.
Si x tend vers -infini, alors x prend des valeurs inférieures à -1, et 1/x est alors compris entre -1 et 0.

Mais en fait c'est mal formulé. Disons plutôt que l'on considère tout de suite x < -1, et par conséquent 1/x compris entre -1 et 0, et qu'ensuite seulement on fait tendre x vers -infini, ce qui n'est pas contradictoire avec x < -1.