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Limite d'une suite d'intégrale

Posté par
viziwi 30-07-23 à 09:40

Bonjour

J'essaye de déterminer la limite de la suite (n . exp(-n) . An) avec
An = intégrale(0, 1, exp(nt) / (1 + exp(t))

Je démontre que :
* (An) est une suite croissante avec  An+1 - An > 0 qq soit n
* An+1 + An = (exp(n) - 1) / n

J'obtiens cette inégalité en combinant les 2 précédents pts :
1/2.(n/(n-1)).(1/e - exp(-n)) <= n.exp(-n).An <= (1 - exp(-n))/2

Je ne peux encore conclure sur la limite de (n . exp(-n) . An)

Preneurs de vos conseils/astuces !
En vous remerciant par avance

Posté par
carpediemre : Limite d'une suite d'intégrale 30-07-23 à 14:41

salut

pour bien écrire les choses :  A_n = \int_0^1 \dfrac {e^{-nt}}{1 + e^t} dt

et tu veux la limite de  u_n = ne^{-n} A_n

or par croissance comparée \lim_{n \to +\infty} n e^{-n} = 0

donc il suffit de montrer que A_n est bornée

ce qui est quasi évident ...

Posté par
carpediemre : Limite d'une suite d'intégrale 30-07-23 à 14:45

plutôt A_n = \int_0^1 \dfrac {e^{nt}}{1 + e^t} dt

mais ça ne change pas grand chose car 0 \le A_n \le \int_0^1 e^{nt} dt

bon si c'est encadrement est insuffisant : vérifie-le puis on verra ce qu'on pourra faire ...

Posté par
viziwire : Limite d'une suite d'intégrale 30-07-23 à 16:05

Bonjour Carpediem
Merci pour ton retour rapide.

Avec ton conseil, en effet, on a :
0 <= An <= (e - 1)/n
0 <= n . exp(-n) . An >= exp(-n) . (e-1)
Et donc la suite (n . exp(-n) . An)n tend vers 0

Du coup, je me suis servi ni du calcul de (An+1 + An), ni du fait que 'An)n soit une suite croissante. Or il était demandé de déduire la limite de la suite (n . exp(-n) . An)n en se basant sur ces 2 observations. Ai-je manqué qq chose ?


Posté par
carpediemre : Limite d'une suite d'intégrale 30-07-23 à 16:42

plutôt

viziwi @ 30-07-2023 à 16:05

0 <= An <= (en - 1)/n   (1)

0 <= n . exp(-n) . An <= exp(-n) . (e-1)   à revoir à partir de ma correction

le pb c'est que tu n'as pas donné l'énoncé exact en entier ... donc je ne peux pas savoir !!

donc :

1/ donner l'énoncé en entier (uniquement les questions ici)
2/ corriger ta proposition à partir de mes corrections

3/ ensuite à partir de 1/ je regarderai à nouveau ce qu'on peut faire en suivant l'énoncé

mais :

4/ il est difficile de te lire sans écrire proprement indice et/ou exposant : tu as les icones X2 et X2 sous ce cadre d'édition pour (au moins) écrire indices et exposants correctement ...

Posté par
viziwire : Limite d'une suite d'intégrale 30-07-23 à 16:59

Voici l'énoncé complet :
Pour n dans N, on pose An = \int_{0}^{1}{ \frac{e^{nt}}{ 1 + e^{t} } dt}

1/ calculer A1
2/ déterminer le minimum de 1/(1+et) sur [0, 1]
En déduire une minoration de An et la limite de la suite (An)n
3/ calculer An + An+1
4/ calculer A0 et A2
5/ montrer que la suite (An)n est croissante
6/ déduire des questions 3 et 5 la limite de la suite (n.e-n.An)n

Posté par
carpediemre : Limite d'une suite d'intégrale 30-07-23 à 20:00

ok alors peux-tu maintenant nous donner "proprement" les résultats ou les réponses que tu as ...

Posté par
viziwire : Limite d'une suite d'intégrale 30-07-23 à 22:15

J'obtiens les résultats suivants :
1) A1 = ln((1+e)/2)
2) (1/(1+e)) (en-1)/n <= An
Donc An => +inf
3) An+1 + An= (en - 1) / n
4) A2 = e - 1 - ln((1+e)/2)
A0 = ln(2e / (1+e))
5) An+1 - An => 0
Donc (An)n est une suite croissante
6)  J'obtiens cette inégalité en combinant les points 3) et 5) :
1/2.\frac{n}{n-1}.(\frac{1}{e} - e-n)) <= n . e-n.An <= 1/2 . (1 - e-n)

Je n'arrive pas à conclure ainsi.

Posté par
larrechre : Limite d'une suite d'intégrale 31-07-23 à 10:36

Bonjour,

En attendant le retour de carpediem, je me demande si l'argument suivant est recevable.

On montre facilement que ne^{-n}(A_n+A_{n+1})+(n+1) e^{-(n+1)}(A_n+A_{n+1}) a une limite finie. Or chacun des termes est positif. Donc chacun d'entre eux a une limite finie.

Mais il y a sûrement plus simple.

Obligé de partir là.

Posté par
lakere : Limite d'une suite d'intégrale 31-07-23 à 12:39

Bonjour à tous,
La dernière inégalité de viziwi :

  \dfrac{n}{2(n-1)}\left(\dfrac{1}{e}-e^{-n}\right)\leq ne^{-n}A_n\leq \dfrac{1-e^{-n}}{2}

est correcte.
Elle permet d'affirmer que si la suite (ne^{-n}A_n) est convergente, sa limite est comprise entre \dfrac{1}{2e} et \dfrac{1}{2}
Du calcul numérique donne une limite aux environs de 0.27
Mais je doute (sans certitude) qu'on puisse répondre à cette question :

Citation :
6/ déduire des questions 3 et 5 la limite de la suite (n.e-n.An)n

Il est fort possible que quelque chose m'ait échappé.

Posté par
larrechre : Limite d'une suite d'intégrale 31-07-23 à 12:49

Bonjour lake,

Que penses-tu de mon argument?

S'il est fondé, on trouve (assez) facilement que la limite est \dfrac{1}{1+e}

Posté par
carpediemre : Limite d'une suite d'intégrale 31-07-23 à 14:12

les questions 1/ et 4/ sont là pour s'entrainer au calcul d'intégrale ... cependant je ne vois pas pourquoi ne pas les regrouper en une seule question ...

pour la minoration je ne vois pas pourquoi ne pas utiliser 2/ qui donne immédiatement \dfrac 1 {1 + e} (1 - e^{-n}) \le n e^{-n} A_n

ce qui est mieux que votre résultat de 6/ et fait apparaitre le résultat de larrech

pour la majoration je suis d'accord ... mais comme le dit lake ça ne permet pas de conclure

cependant on sait maintenant que c'est la majoration qui ne convient pas

Posté par
carpediemre : Limite d'une suite d'intégrale 31-07-23 à 14:27

pour la majoration on a simplement :    A_n = \int_0^1 \dfrac {e^{nt}} {1 + e^t} dt \le \int_0^1 \dfrac {e^{nt}} {e^t}dt = \int_0^1 e^{(n - 1)t} dt = \dfrac 1 {n - 1} \left( e^{n - 1} - 1 \right)

donc ne^{-n} A_n \le \dfrac n {n - 1} (e^{-1} - e^{-n}) \le \dfrac 1 e \le \dfrac 1 2

ce qui est mieux que 1/2 mais ne permet toujours pas de conclure ...

Posté par
lakere : Limite d'une suite d'intégrale 31-07-23 à 15:50

>>larrech,
Je ne sais pas trop te répondre. Mais une chose est sûre :
  si la limite existe, on a :

ne^{-n}(A_n+A_{n+1})=1-e^{-n}=ne^{-n}A_n+\dfrac{ne}{n+1}\,(n+1)e^{-(n+1)}A_{n+1}

et en passant à la limite, on a bien, comme tu l'as indiqué : \ell=\dfrac{1}{e+1}
J'avais été incapable de tomber sur cette limite

Posté par
lakere : Limite d'une suite d'intégrale 31-07-23 à 16:08

Il faudrait montrer que la suite ne^{-n}A_n est décroissante (à partir du rang 4). Je n'ai pas tenté l'affaire.
Avec l'encadrement de viziwi cité plus haut, on a un minorant pour n\geq 2 : \dfrac{1}{2e} qui assure la convergence.

Posté par
lakere : Limite d'une suite d'intégrale 31-07-23 à 16:23

D'ailleurs 0 est aussi un minorant

Posté par
viziwire : Limite d'une suite d'intégrale 31-07-23 à 20:23

Hello

Top merci à tous pour vos retours

Special congrats to larrech et lake
Bien vu le jeu des limites / l

Posté par
viziwire : Limite d'une suite d'intégrale 01-08-23 à 08:34

lake,
je pensais que cette inégalité ne garantissait pas que la suite (ne-nA-n )-n est convergente. Ne pourrait-elle pas simplement osciller entre ces 2 bornes ? Ne faudrait-il pas que je prouve qu'elle est décroissante pour que je puisse enfin conclure qu'elle est convergente au vu de sa minoration dans cette inégalité ?


lake @ 31-07-2023 à 12:39

Bonjour à tous,
La dernière inégalité de viziwi :

  \dfrac{n}{2(n-1)}\left(\dfrac{1}{e}-e^{-n}\right)\leq ne^{-n}A_n\leq \dfrac{1-e^{-n}}{2}

est correcte.
Elle permet d'affirmer que si la suite (ne^{-n}A_n) est convergente, sa limite est comprise entre \dfrac{1}{2e} et \dfrac{1}{2}
Du calcul numérique donne une limite aux environs de 0.27
Mais je doute (sans certitude) qu'on puisse répondre à cette question :
Citation :
6/ déduire des questions 3 et 5 la limite de la suite (n.e-n.An)n

Il est fort possible que quelque chose m'ait échappé.


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