limite de (1-cos x)/x lorsque x tend vers 0 (quantité conjuguée)

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limite de (1-cos x)/x lorsque x tend vers 0 (quantité conjuguée)
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Rom7s  08-09-16 à 20:03
Bonjour. Je souhaiterai résoudre la limite lorsque x tend vers 0 de (1-cos x)/x. On me propose l'indice suivant : "On pourra multiplier par une quantité conjuguée."

Ainsi, je pense que que des méthodes et des règles comme celles de l'Hôpital (dont j'ai entendu parlé) ne serrai pas judicieux dans mon cas précis.



Voici ce que j'ai fais jusque là :

(1-cos x)/x

= (1 - cos x)(1 + cos x)/(x*(1 + cos x))     (le conjugué de (1-cos x) étant (1+cos x) si je ne me trompe pas...)

= (1² - cos² x)/(x + x*cos x)

= (1 - cos² x)/(x + x*cos x)

= (sin² x)/(x + x*cos x)     (car cos² x + sin² x = 1 <=> sin² x = 1 - cos² x)



et c'est ici que je suis bloqué. Je doute avoir fait une erreur de calcul, car j'ai refais l'opération plusieurs fois et je suis arrivé à cette même étape, mais on ne sait jamais... Avez-vous une idée pour parvenir à mon problème en utilisant ce conseil de la "multiplication par une quantité conjuguée" ?
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Bachstelzere : limite de (1-cos x)/x lorsque x tend vers 0 (quantité conju  08-09-16 à 20:10
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Bachstelzere : limite de (1-cos x)/x lorsque x tend vers 0 (quantité conju  08-09-16 à 20:16
Pardon, c'est la limite en 0 qu'on veut, donc 1/x est infini... Dans ce cas, plutôt . Calculer séparément la limite de sin(x)/x si elle n'est pas connue.
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malou re : limite de (1-cos x)/x lorsque x tend vers 0 (quantité conju  08-09-16 à 20:17
Bonjour

pourquoi faire simple quand on peut faire..compliqué....

(1-cos x)/x 

et si tu pensais au nombre dérivé....

-(cosx - cos0)/(x-0)

.....
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Rom7sre : limite de (1-cos x)/x lorsque x tend vers 0 (quantité conju  08-09-16 à 20:19
Ah oui ça peut simplifier...



Et j'ai aussi oublier de dire que juste avant j'ai réussis à résoudre la limite lorsque x tend vers 0 de sin (x)/x, qui vaut 1, grâce au théorème des gendarmes, car on savait que pour tout x appartenant à ]0;pi/2[ : cos x  sin (x)/x  1, et que comme lim x->0 cos x =1, la limite de sin (x)/x est évidement 1. Peut-être est-il possible de l'utiliser...
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Rom7sre : limite de (1-cos x)/x lorsque x tend vers 0 (quantité conju  08-09-16 à 20:20
oui Bachstelze c'est excellent d'avoir sin (x)/x, ça va beaucoup me simplifier la tâche !
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Rom7sre : limite de (1-cos x)/x lorsque x tend vers 0 (quantité conju  08-09-16 à 20:21
Bonsoir Malou. La dérivée est à démontrer ensuite à la toute fin de mon exercice.
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malou re : limite de (1-cos x)/x lorsque x tend vers 0 (quantité conju  08-09-16 à 20:23
ah, zut...pouvais pas deviner !....bonne suite d'exo alors de cette autre manière !! 
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Rom7sre : limite de (1-cos x)/x lorsque x tend vers 0 (quantité conju  08-09-16 à 20:27
Désolé Malou ^^"



Comme lim x->0 sin (x)/x = 1, il suffit de connaitre la limite de sin (x)/(1+cos x)... soit lorsque x tend vers 0 : sin (0) = 0 et 1+cos (0) = 1+1=2. soit 0/2 = 0



Donc la limite serait finalement 0, c'est bien ça ?
  Posté par 
Rom7sre : limite de (1-cos x)/x lorsque x tend vers 0 (quantité conju  08-09-16 à 20:37
Pas de réponse : je prends ça pour un "oui" ! 

Et puis suis-je bête, c'est évident : extraire une limite que l'on connait déjà, j'aurai du y penser avant. Merci à toi Bachstelze de m'avoir mis sur la voie ! Bonne soirée à tous !