Niveau terminale

Limite de arctan en l'infini

Posté par
athrun 03-12-09 à 22:27

Bonsoir,

je cherche :

Citation :
$\lim_{x\rightarrow+\infty} (arctan(x))$

dites-moi si ma démonstration est bonne :

Soit $x\in I=]-\frac{\pi}{2};\frac{\pi}{2}[$ ,

$\rm arctan(tan(x))=x$

On pose $X=tan(x)$

Quand $x$ tend vers $\frac{\pi}{2}$ , $X$ tend vers $+\infty$ ,

d'où :

$\lim_{X\rightarrow+\infty} (arctan(X)) = \frac{\pi}{2}$

d'où, pour $x\in I$ :

$\lim_{x\rightarrow+\infty} (arctan(x)) = \frac{\pi}{2}$

Ca marche ?

Posté par re : Limite de arctan en l'infini 04-12-09 à 04:34

Bonjour,

Non, tu ne peux pas écrire en même temps :
pour $x\in I$
et $\lim_{x\to+\infty}...$

Il y a une contradiction car $I=]-\frac{\pi}{2};\frac{\pi}{2}[$

En revanche, on peut écrire :

Posons, pour $X\in ]-\frac{\pi}{2};\frac{\pi}{2}[$ : $x=\tan X$

On a alors : $\lim_{X\to\frac{\pi}{2}}\tan(X)=+\infty$

Donc : $\lim_{x\to+\infty}Arctan x=\lim_{X\to\frac{\pi}{2}}Arctan(\tan(X))=\frac{\pi}{2}$

Posté par re : Limite de arctan en l'infini 04-12-09 à 20:40

Bonsoir Patrice, merci pour votre réponse

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