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Limite de fonction ( partie entière)

Posté par
Samsco 03-11-20 à 09:11

Bonjour j'ai besoin de votre aide svp.

EXERCICE :

Calculer les limites suivantes quand elles existent :

\lim_{x \to 0}\sqrt{x}E\left(\dfrac{1}{x}\right) \\ \\ \lim_{x \to 0}\dfrac{E\left(\dfrac{1}{x}\right)-x}{E\left(\dfrac{1}{x}\right)+x} \\ \\ \lim_{x \to +\infty}\dfrac{E\left(\dfrac{x}{2010}\right)}{x}

Réponses :

1-  

\forall x \in \mathbb{R^*}~,~\dfrac{1}{x}-1 \leq E\left(\dfrac{1}{x}\right)\leq \dfrac{1}{x} \\ \\ \forall x>0~,~\dfrac{1}{\sqrt{x}}-\sqrt{x} \leq \sqrt{x}E\left(\dfrac{1}{x}\right) \leq \dfrac{1}{\sqrt{x}}

\lim_{x \to 0}\left(\dfrac{1}{\sqrt{x}}-\sqrt{x}\right)=+\infty \\ \\ \lim_{x \to 0}\dfrac{1}{\sqrt{x}}=+\infty

Donc \lim_{x \to 0}\sqrt{x}E\left(\dfrac{1}{x}\right)=+\infty

2-

Posté par
Sylvieg Moderateurre : Limite de fonction ( partie entière) 03-11-20 à 10:22

Bonjour,
Attention, pour écrire x, il y a une petite condition

Posté par
Sylvieg Moderateurre : Limite de fonction ( partie entière) 03-11-20 à 10:24

OK, tu l'as écrit à la ligne suivante.
Seule une des inégalités est utile : Celle de gauche.

Posté par
Samscore : Limite de fonction ( partie entière) 04-11-20 à 09:28

Oui je vois.

\forall x \in \mathbb{R^*}~,~\dfrac{1}{x}-1 \leq E\left(\dfrac{1}{x}\right)\leq \dfrac{1}{x} \\ \\ \forall x>0~,~\dfrac{1}{\sqrt{x}}-\sqrt{x} \leq \sqrt{x}E\left(\dfrac{1}{x}\right)

\lim_{x \to 0}\left(\dfrac{1}{\sqrt{x}}-\sqrt{x}\right)=+\infty

Donc \lim_{x \to 0}\sqrt{x}E\left(\dfrac{1}{x}\right)=+\infty

Posté par
Samscore : Limite de fonction ( partie entière) 04-11-20 à 09:29

Comment je calcule la deuxième limite ?

Posté par
Sylvieg Moderateurre : Limite de fonction ( partie entière) 04-11-20 à 09:35

Pour la première, je démarrerais par
E(1/x) 1/x < E(1/x) +1
Qui utilise de manière plus claire la définition de partie entière.
D'où \; E(1/x) > (1/x) -1 .

Posté par
Sylvieg Moderateurre : Limite de fonction ( partie entière) 04-11-20 à 09:41

Quelle est ta conjecture pour la seconde limite ?

Posté par
Samscore : Limite de fonction ( partie entière) 04-11-20 à 12:38

Comment ça ? je n'ai rien conjecturé.

Posté par
Sylvieg Moderateurre : Limite de fonction ( partie entière) 04-11-20 à 13:41

Note f(x) la fonction dont on cherche la limite
Si tu pensais que cette limite était 3, tu chercherais à transformer f(x) - 3 pour démontrer que la limite est 0.

Mais ce n'est pas 3. A toi de subodorer.

Posté par
Samscore : Limite de fonction ( partie entière) 05-11-20 à 21:59

Désolé mais je ne vois pas du tout.

Posté par
Sylvieg Moderateurre : Limite de fonction ( partie entière) 06-11-20 à 07:36

Je te conseillais de faire d'abord une conjecture sur le résultat cherché L.
Puis de transformer f(x) - L.

Si tu ne vois pas, commence par la limite de E(1/x) quand x tend vers 0+.

Posté par
Samscore : Limite de fonction ( partie entière) 06-11-20 à 10:01

La limite de E(1/x) quand x tend vers 0+ est +infini

Posté par
Sylvieg Moderateurre : Limite de fonction ( partie entière) 06-11-20 à 10:05

Tu as une forme indéterminée "/".
Si tu avais e1/x à la place de E(x), quelle méthode utiliserais-tu ?

Posté par
Sylvieg Moderateurre : Limite de fonction ( partie entière) 06-11-20 à 17:21

Coquille : e1/x à la place de E(1/x.)

Posté par
Samscore : Limite de fonction ( partie entière) 10-11-20 à 09:10

Pour la limite à gauche envoyé 0 , je mettrais x en facteur au numérateur et au dénominateur , puis je poserais X=1/x . La forme indéterminée serait levée ainsi.

Posté par
Sylvieg Moderateurre : Limite de fonction ( partie entière) 10-11-20 à 13:48

J'aurais factorisé par le terme prédominant qui tend vers l'infini plutôt que par un terme qui tend vers 0 :

\dfrac{e^{\frac{1}{x}}-x}{e^{\frac{1}{x}}+x} = \dfrac{1-\dfrac{x}{e^{\frac{1}{x}}}}{1+\dfrac{x}{e^{\frac{1}{x}}}}

Posté par
Samscore : Limite de fonction ( partie entière) 10-11-20 à 14:35

Donc \lim_{x \to 0}\dfrac{E(1/x)-1}{E(1/x)+1}=\lim_{x \to 0}\dfrac{1-\dfrac{x}{E(1/x)}}{1+\dfrac{x}{E(1/x)}}=\lim_{x \to 0}\dfrac{1-x\times\dfrac{1}{E(1/x)}}{1+x\times\dfrac{1}{E(1/x)}}=1

Posté par
Samscore : Limite de fonction ( partie entière) 10-11-20 à 14:55

\forall x \in \mathbb{R}~,~E\left(\dfrac{x}{2010}\right) \leq \dfrac{x}{2010} \leq E\left(\dfrac{x}{2010}\right)+1 \\ \\ \Rightarrow \dfrac{x}{2010}-1 \leq E\left(\dfrac{x}{2010}\right) \leq \dfrac{x}{2010} \\ \\ \Rightarrow \dfrac{1}{2010}-\dfrac{1}{x} \leq \dfrac{E(x/2010)}{x} \leq \dfrac{1}{2010}

\lim_{x \to +\infty}\left(\dfrac{1}{2010}-\dfrac{1}{x}\right)=\dfrac{1}{2010}  \text {et} \lim_{x \to +\infty}\dfrac{1}{2010}=\dfrac{1}{2010} \\ \\ \text{donc} \lim_{x \to +\infty}\dfrac{E(x/2010)}{x}=\dfrac{1}{2010}

Posté par
Sylvieg Moderateurre : Limite de fonction ( partie entière) 10-11-20 à 16:38

En notant f(x), g(x) et h(x) les 3 expressions dont on cherche les limites, transformer ces expressions sans écrire "lim" devant.
Puis conclure sur la limite.

Tu as oublié des x au début de ton message de 14h35. Pas grave.
Mais il faut dire quelle est la limite de E(1/x) et le justifier.

Tu aurais pu te douter dès le début que la limite était 1.
Et donc transformer g(x)-1 pour trouver une limite nulle. Et conclure.

Posté par
Sylvieg Moderateurre : Limite de fonction ( partie entière) 10-11-20 à 16:45

Pour la dernière limite, préciser x
strictement positif avant de diviser par x.
Et à la fin, évoquer le théorème utilisé.

Posté par
Samscore : Limite de fonction ( partie entière) 10-11-20 à 18:46

Citation :
Tu as oublié des x au début de ton message de 14h35. Pas grave.
Mais il faut dire quelle est la limite  de E(1/x) et le justifier.


\dfrac{E(1/x)-{\blue{x}}}{E(1/x)+{\blue{x}}}=\dfrac{1-\dfrac{x}{E(1/x)}}{1+\dfrac{x}{E(1/x)}}=\dfrac{1-x\times\dfrac{1}{E(1/x)}}{1+x\times\dfrac{1}{E(1/x)}} \\ \\ \lim_{x\to 0}\dfrac{E(1/x)-x}{E(1/x)+x}=\lim_{x \to 0}\dfrac{1-x\times \dfrac{1}{E(1/x)}}{1+\dfrac{1}{E(1/x)}}=1

Car \forall x \in \mathbb{R}~,~E(x) \leq x \leq E(x)+1 \Rightarrow x-1 \leq E(x) \leq x \\ \\ \lim_{x \to \infty}(x-1)=\infty \\ \text{et} \lim_{x \to \infty}x=\infty \\ \\ \text{D'après le théorème des gendarmes} \lim_{x \to \infty}E(x)=\infty \\ \\ \lim_{x \to 0}\dfrac{1}{x}=\infty \\ \text{et} \lim_{x \to \infty}E(x)=\infty \\ \text{donc} \lim_{x \to 0}E(1/x)=\infty

Citation :
Tu aurais pu te douter dès le début que la limite était 1.
Et donc transformer g(x)-1 pour trouver une limite nulle. Et conclure.


Comment j'aurais pu le savoir ?

Posté par
Samscore : Limite de fonction ( partie entière) 10-11-20 à 18:48

Sylvieg @ 10-11-2020 à 16:45

Pour la dernière limite, préciser x
strictement positif avant de diviser par x.
Et à la fin, évoquer le théorème utilisé.


\forall x \in \mathbb{R}~,~E\left(\dfrac{x}{2010}\right) \leq \dfrac{x}{2010} \leq E\left(\dfrac{x}{2010}\right)+1 \\ \\ \Rightarrow \dfrac{x}{2010}-1 \leq E\left(\dfrac{x}{2010}\right) \leq \dfrac{x}{2010} \\ \\ \forall x > 0~,~ \dfrac{1}{2010}-\dfrac{1}{x} \leq \dfrac{E(x/2010)}{x} \leq \dfrac{1}{2010}

\lim_{x \to +\infty}\left(\dfrac{1}{2010}-\dfrac{1}{x}\right)=\dfrac{1}{2010}  \text {et} \lim_{x \to +\infty}\dfrac{1}{2010}=\dfrac{1}{2010} \\ \\ \text{D'après le théorème des gendarmes} \lim_{x \to +\infty}\dfrac{E(x/2010)}{x}=\dfrac{1}{2010}

Posté par
Sylvieg Moderateurre : Limite de fonction ( partie entière) 10-11-20 à 19:12

D'accord pour la dernière.

Pour la seconde, ce n'est pas théorème des gendarmes.
Celui-ci ne s'utilise que pour un encadrement qui permet de conclure à une limite réelle.

E(x) > x-1 \; pour tout x réel et \; \lim_{x\rightarrow +\infty } (x-1) = +\infty .

Par comparaison, \; \lim_{x\rightarrow +\infty } E(x) = +\infty

Pour conjecturer 1, je repondrai plus tard.

Posté par
Sylvieg Moderateurre : Limite de fonction ( partie entière) 10-11-20 à 20:45

g(x) = \dfrac{E\left(\dfrac{1}{x}\right)-x}{E\left(\dfrac{1}{x}\right)+x}

A partir du moment où on a vu que \; \lim_{x\rightarrow 0} E(\frac{1}{x}) = +\infty , on utilise mentalement la technique du terme dominant :

Quand \; g(x) = \dfrac{u(x)-x}{v(x)+x} \; avec u et v de limite infinie, on écrit \; g(x) = \dfrac{u(x)(1-\frac{x}{u(x)})}{v(x)(1+\frac{x}{v(x)})} .
g(x) aura donc la même limite que u(x)/v(x).

Posté par
Samscore : Limite de fonction ( partie entière) 11-11-20 à 15:11

Citation :
A partir du moment où on a vu que \; {\blue{\lim_{x\rightarrow 0} E(\frac{1}{x}) = +\infty}}


Pourquoi \lim_{x\rightarrow 0} E(\frac{1}{x}) = +\infty ?

Posté par
Samscore : Limite de fonction ( partie entière) 11-11-20 à 15:11

Sylvieg @ 10-11-2020 à 19:12


E(x) > x-1 \; pour tout x réel et \; \lim_{x\rightarrow +\infty } (x-1) = +\infty .

Par comparaison, \; \lim_{x\rightarrow +\infty } E(x) = +\infty

Pour conjecturer 1, je repondrai plus tard.


D'accord j'ai compris.


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